अंतराल $[a, b]$ में फलन $f(x) = x^{2} - 4x - 3$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को सत्यापित कीजिए,जहाँ $a = 1$ और $b = 4$ है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} - 4x - 3$ है।
चूँकि $f(x)$ एक बहुपद फलन है,यह बंद अंतराल $[1, 4]$ पर सतत है और खुले अंतराल $(1, 4)$ पर अवकलनीय है।
फलन का अवकलज $f'(x) = 2x - 4$ है।
अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात कीजिए:
$f(1) = (1)^{2} - 4(1) - 3 = 1 - 4 - 3 = -6$.
$f(4) = (4)^{2} - 4(4) - 3 = 16 - 16 - 3 = -3$.
माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक बिंदु $c \in (1, 4)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
$\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{-3 - (-6)}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
अब,$f'(c) = 1$ रखने पर:
$2c - 4 = 1$.
$2c = 5$.
$c = \frac{5}{2} = 2.5$.
चूँकि $2.5 \in (1, 4)$,अतः माध्य मान प्रमेय सत्यापित होता है।