अंतराल left[-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}right] म | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन $f(x) = \cos x - \sin 2x$ अंतराल $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ पर सतत है और $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right

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$\sin^{-1}\left(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\right)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया फलन $f(x) = \cos x - \sin 2x$ अंतराल $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ पर सतत है और $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ पर अवकलनीय है।लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(\pi/2) - f(-\pi/2)}{\pi/2 - (-\pi/2)}$।सबसे पहले,$f(\pi/2) = \cos(\pi/2) - \sin(\pi) = 0 - 0 = 0$।इसके बाद,$f(-\pi/2) = \cos(-\pi/2) - \sin(-\pi) = 0 - 0 = 0$।अतः,$f'(c) = \frac{0 - 0}{\pi} = 0$।अवकलन $f'(x) = -\sin x - 2\cos 2x$ है।$f'(c) = 0$ रखने पर,हमें $-\sin c - 2\cos 2c = 0$ प्राप्त होता है।सर्वसमिका $\cos 2c = 1 - 2\sin^2 c$ का उपयोग करने पर,$-\sin c - 2(1 - 2\sin^2 c) = 0$।$-\sin c - 2 + 4\sin^2 c = 0$,जो सरल होकर $4\sin^2 c - \sin c - 2 = 0$ हो जाता है।$\sin c$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$\sin c = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(4)(-2)}}{2(4)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$।इसलिए,$c = \sin^{-1}\left(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\right)$।

अंतराल $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में $f(x)=\cos x-\sin 2x$ के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय का स्थिरांक $c$ क्या है?

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