यदि समीकरण $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x = 0$ का एक धनात्मक मूल $x = \alpha$ है,तो समीकरण $na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ के धनात्मक मूल के बारे में क्या कहा जा सकता है?

यदि $f(x)$,$[1, 2]$ में रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और $f(x)$,$[1, 2]$ में सतत है,तो $\int_1^2 f'(x) dx$ का मान क्या होगा?

यदि $f(x)=x^3+p x^2+q x$ अंतराल $[0,2]$ पर परिभाषित है,जहाँ $f(0)=f(2)$ और $f^{\prime}\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है,तो $p^2+q^2=$

मान लीजिए $\psi_1:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$\psi_2:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,और $g:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ ऐसे फलन हैं कि $f(0)=g(0)=0$,$\psi_1(x)=e^{-x}+x$ जहाँ $x \geq 0$,$\psi_2(x)=x^2-2x-2e^{-x}+2$ जहाँ $x \geq 0$,$f(x)=\int_{-x}^{x}(|t|-t^2)e^{-t^2} dt$ जहाँ $x>0$,और $g(x)=\int_0^{x^2} \sqrt{t} e^{-t} dt$ जहाँ $x>0$.
$(1)$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ (सत्य) है?
$(A)$ $f(\sqrt{\ln 3})+g(\sqrt{\ln 3})=\frac{1}{3}$
$(B)$ प्रत्येक $x>1$ के लिए,एक ऐसा $\alpha \in(1, x)$ मौजूद है कि $\psi_1(x)=1+\alpha x$
$(C)$ प्रत्येक $x>0$ के लिए,एक ऐसा $\beta \in(0, x)$ मौजूद है कि $\psi_2(x)=2x(\psi_1(\beta)-1)$
$(D)$ $f$ अंतराल $[0, \frac{3}{2}]$ पर एक वर्धमान फलन है
$(2)$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ (सत्य) है?
$(A)$ $\psi_1(x) \leq 1$,सभी $x>0$ के लिए
$(B)$ $\psi_2(x) \leq 0$,सभी $x>0$ के लिए
$(C)$ $f(x) \geq 1-e^{-x^2}-\frac{2}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5$,सभी $x \in(0, \frac{1}{2})$ के लिए
$(D)$ $g(x) \leq \frac{2}{3}x^3-\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{7}x^7$,सभी $x \in(0, \frac{1}{2})$ के लिए

मान लीजिए $f:[1,3] \rightarrow R$ एक सतत फलन है जो $(1,3)$ में अवकलनीय है और सभी $x \in(1,3)$ के लिए $f^{\prime}(x)=|f(x)|^{2}+4$ है। तो,

अंतराल $[0,2]$ में फलन $f(x)=x^3-3x^2+2x$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होने हेतु $c$ का मान ज्ञात कीजिए: