यदि $f(x)$,$[1, 2]$ में रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और $f(x)$,$[1, 2]$ में सतत है,तो $\int_1^2 f'(x) dx$ का मान क्या होगा?

यदि $f(x) = x^{3}$ और $g(x) = x^{3} - 4x$ अंतराल $[-2, 2]$ में हैं,तो निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(a)$ $f(x)$ और $g(x)$ माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को संतुष्ट करते हैं।
$(b)$ $f(x)$ और $g(x)$ दोनों रोले के प्रमेय (Rolle's Theorem) को संतुष्ट करते हैं।
$(c)$ केवल $g(x)$ रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।
इनमें से कौन सा कथन सही है?

यदि $f$ और $g$ अंतराल $[0, 1]$ में अवकलनीय फलन हैं जो $f(0) = 2$,$g(1) = 2$,$g(0) = 0$,और $f(1) = 6$ को संतुष्ट करते हैं,तो किसी $c \in (0, 1)$ के लिए:

अंतराल $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ में फलन $f(x) = \log(\sin x)$ के लिए लैग्रेंज के मध्यमान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार $c$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $y = f(x)$ और $y = g(x)$ अंतराल $[0, 2]$ में दो अवकलनीय फलन हैं,जहाँ $f(0) = 3$,$f(2) = 5$,$g(0) = 1$ और $g(2) = 2$ है। यदि कम से कम एक $c \in (0, 2)$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = k g'(c)$ हो,तो $k$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि $f$ अंतराल $(1,6)$ पर एक दो बार अवकलनीय फलन है। यदि $f(2)=8$,$f'(2)=5$,$f'(x) \geq 1$ और $f''(x) \geq 4$ सभी $x \in (1,6)$ के लिए है,तो: