मान लीजिए f(x) = intlimits_0^x {left( {t + fr | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^x {\left( {t + \frac{1}{t}} \right)\,dt}$.कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = x + \frac{1}{x}$.अतः,$x \in \l

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$\left( {\sqrt {\frac{3}{2}}, \frac{5}{\sqrt 6 }} \right)$

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(D) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^x {\left( {t + \frac{1}{t}} \right)\,dt}$.कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = x + \frac{1}{x}$.अतः,$x \in \left[ {\frac{1}{2}, 3} \right]$ के लिए $g(x) = x + \frac{1}{x}$ है।हमें प्राप्त होता है $g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$ और $g(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.मान लीजिए $P = (c, g(c))$ वक्र पर एक बिंदु है जहाँ स्पर्श रेखा $\left( {\frac{1}{2}, \frac{5}{2}} \right)$ और $\left( {3, \frac{10}{3}} \right)$ को जोड़ने वाली जीवा के समानांतर है।मध्यमान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,एक ऐसा $c \in \left( {\frac{1}{2}, 3} \right)$ मौजूद है कि $g'(c) = \frac{g(3) - g(1/2)}{3 - 1/2}$.चूंकि $g'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$,इसलिए $1 - \frac{1}{c^2} = \frac{10/3 - 5/2}{3 - 1/2} = \frac{(20-15)/6}{5/2} = \frac{5/6}{5/2} = \frac{1}{3}$.अतः,$1 - \frac{1}{c^2} = \frac{1}{3} \implies \frac{1}{c^2} = \frac{2}{3} \implies c^2 = \frac{3}{2} \implies c = \sqrt{\frac{3}{2}}$.$y$-निर्देशांक $g(c) = \sqrt{\frac{3}{2}} + \frac{1}{\sqrt{3/2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{3 + 2}{\sqrt{6}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.इस प्रकार,बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left( {\sqrt {\frac{3}{2}}, \frac{5}{\sqrt 6 }} \right)$ हैं।

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