वक्र y^3 + 3x^2 = 12y पर किस बिंदु (बिंदुओं) | vedclass

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Question

(D) दिए गए वक्र का समीकरण: $y^3 + 3x^2 = 12y$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3y^2 \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx}$। $\frac{dy}{

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$\left( \pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 2 \right)$

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(D) दिए गए वक्र का समीकरण: $y^3 + 3x^2 = 12y$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3y^2 \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx}$। $\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर: $\frac{dy}{dx} (3y^2 - 12) = -6x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{6x}{3y^2 - 12} = -\frac{2x}{y^2 - 4}$। स्पर्श रेखा के ऊर्ध्वाधर होने के लिए,ढाल $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित होनी चाहिए,जो तब होता है जब हर (denominator) शून्य हो: $y^2 - 4 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$। स्थिति $1$: यदि $y = 2$,तो मूल समीकरण में रखने पर: $(2)^3 + 3x^2 = 12(2) \implies 8 + 3x^2 = 24 \implies 3x^2 = 16 \implies x^2 = \frac{16}{3} \implies x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$। स्थिति $2$: यदि $y = -2$,तो मूल समीकरण में रखने पर: $(-2)^3 + 3x^2 = 12(-2) \implies -8 + 3x^2 = -24 \implies 3x^2 = -16$। वास्तविक $x$ के लिए $x^2$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $y = -2$ के लिए कोई वास्तविक बिंदु नहीं है। अतः,अभीष्ट बिंदु $\left( \pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 2 \right)$ हैं।

वक्र $y^3 + 3x^2 = 12y$ पर किस बिंदु (बिंदुओं) पर स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर (vertical) है?

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