$0^{\circ}C$ તાપમાને એક ગોળો $\omega_0$ કોણીય વેગથી ભ્રમણ કરે છે. જ્યારે તાપમાન વધારીને $100^{\circ}C$ કરવામાં આવે ત્યારે તેનો નવો કોણીય વેગ કેટલો થશે? (આપેલ છે: $\alpha = 2.0 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$)

$m$ દળ અને $L$ લંબાઈનો એક સળિયો તેના એક છેડેથી લટકાવેલ છે. $m$ દળની એક ગોળી $v$ ઝડપથી ગતિ કરતી સળિયા સાથે તેના ધરીબિંદુથી $x$ અંતરે આડી અથડાય છે અને તેમાં ખૂંપી જાય છે. સંયુક્ત તંત્ર હવે ધરીબિંદુની આસપાસ $\omega$ કોણીય ઝડપથી ફરે છે. મહત્તમ કોણીય ઝડપ $\omega_M$ એ $x=x_M$ માટે પ્રાપ્ત થાય છે. તો
$(A)$ $\omega=\frac{3 v x}{ L ^2+3 x^2}$
$(B)$ $\omega=\frac{12 v x}{L^2+12 x^2}$
$(C)$ $x_M=\frac{L}{\sqrt{3}}$
$(D)$ $\omega_M=\frac{v}{2 L} \sqrt{3}$

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક રીંગ $u$ જેટલા અચળ વેગથી સરક્યા વિના ગબડે છે. રીંગના કોઈપણ કણ દ્વારા તેના પથના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ અનુસરવામાં આવતા પથની વક્રતા ત્રિજ્યા કેટલી હશે?

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $n=3, 4, 5, \ldots$ બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણનો વિચાર કરો. તમામ બહુકોણનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર જમીનથી $h$ ઊંચાઈ પર છે. તેઓ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સરક્યા વિના અને લપસ્યા વિના અગ્રવર્તી શિરોબિંદુની આસપાસ સમક્ષિતિજ સપાટી પર ગબડે છે. દરેક બહુકોણ માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના બિંદુપથની ઊંચાઈમાં મહત્તમ વધારો $\Delta$ છે. તો $\Delta$ એ $n$ અને $h$ પર કેવી રીતે આધાર રાખે છે?

હાઇડ્રોજન પરમાણુના વર્ણપટના બોહરના સિદ્ધાંતની મુખ્ય લાક્ષણિકતા એ છે કે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પ્રોટોનની આસપાસ ફરે છે ત્યારે કોણીય વેગમાનનું ક્વોન્ટાઇઝેશન થાય છે. આપણે આને દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટે સામાન્ય પરિભ્રમણ ગતિ સુધી વિસ્તૃત કરીશું,તેને દ્રઢ ધારીને. લાગુ પાડવાનો નિયમ બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત છે.
$1.$ એક દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$n$-માં સ્તર $(n=1, 2, 3, \dots)$ માં તેની પરિભ્રમણ ઉર્જા છે:
$(A) \frac{1}{n^2}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(B) \frac{1}{n}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(C) n\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(D) n^2\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$
$2.$ એવું જોવા મળ્યું છે કે $CO$ અણુ માટે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ સુધીની પરિભ્રમણની ઉત્તેજના આવૃત્તિ $\frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ ની નજીક છે. તો તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ $CO$ અણુની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી હશે? ($h=2 \pi \times 10^{-34} \text{ Js}$ લો)
$(A) 2.76 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(B) 1.87 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(C) 4.67 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$ $(D) 1.17 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$
$3.$ $CO$ અણુમાં,$C$ (દળ $= 12 \text{ a.m.u.}$) અને $O$ (દળ $= 16 \text{ a.m.u.}$) વચ્ચેનું અંતર,જ્યાં $1 \text{ a.m.u.} = \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg}$,કેટલું હશે?
$(A) 2.4 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(B) 1.9 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(C) 1.3 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(D) 4.4 \times 10^{-11} \text{ m}$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

એક રીંગ જમીન પર સરક્યા વગર ગબડે છે. તેનું કેન્દ્ર $C$ અચળ ઝડપ $u$ થી ગતિ કરે છે. $P$ એ રીંગ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. જમીનની સાપેક્ષે $P$ ની ઝડપ કેટલી હશે?