एक संबंध R प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर इ | vedclass

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Question

(B) माना $A$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। संबंध $R$ को $m R n$ के रूप में परिभाषित किया गया है यदि $m, n$ का गुणज है,अर्थात $m = kn$,जहाँ $k \in

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स्वतुल्य तथा संक्रामक

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(B) माना $A$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। संबंध $R$ को $m R n$ के रूप में परिभाषित किया गया है यदि $m, n$ का गुणज है,अर्थात $m = kn$,जहाँ $k \in \mathbb{N}$ है।$1$. स्वतुल्य: किसी भी $m \in A$ के लिए,$m = 1 	imes m$,इसलिए $m, m$ का गुणज है। अतः,$(m, m) \in R$ है। संबंध स्वतुल्य है।$2$. सममित: यदि $(m, n) \in R$ है,तो $m = kn$ है। इसका अर्थ यह नहीं है कि $n = k'm$ होगा जब $m 
eq n$ हो। उदाहरण के लिए,$4, 2$ का गुणज है,लेकिन $2, 4$ का गुणज नहीं है। अतः,संबंध सममित नहीं है।$3$. संक्रामक: यदि $(m, n) \in R$ और $(n, p) \in R$ है,तो $m = kn$ और $n = lp$ होगा,जहाँ $k, l \in \mathbb{N}$ है। $n$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$m = k(lp) = (kl)p$ प्राप्त होता है। चूँकि $kl \in \mathbb{N}$ है,इसलिए $m, p$ का गुणज है। अतः,$(m, p) \in R$ है। संबंध संक्रामक है।अतः,यह संबंध स्वतुल्य और संक्रामक है।

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जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ में परिभाषित संबंध $R = \{(a, b) : b = a + 1\}$ स्वतुल्य,सममित या संक्रामक है।

संबंध $R = \{(a, b) : \operatorname{gcd}(a, b) = 1, 2a \neq b, a, b \in \mathbb{Z}\}$ है:

समुच्चय $A = \{a, b, c\}$ पर परिभाषित संबंध $R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)\}$ . . . . . . है।

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