intlimits_0^{ln 5} frac{e^x sqrt{e^x - 1}}{e^ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{e^x \sqrt{e^x - 1}}{e^x + 3} dx$ है। $t = e^x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = e^x dx$ प्राप्त होता है। समाकलन $I = \int \frac{\sq

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$4 - \pi$

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(A) माना $I = \int \frac{e^x \sqrt{e^x - 1}}{e^x + 3} dx$ है। $t = e^x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = e^x dx$ प्राप्त होता है। समाकलन $I = \int \frac{\sqrt{t - 1}}{t + 3} dt$ हो जाता है। $u = \sqrt{t - 1}$ प्रतिस्थापित करने पर,$u^2 = t - 1$,अतः $t = u^2 + 1$ और $2u du = dt$ प्राप्त होता है। $I = \int \frac{u \cdot 2u du}{u^2 + 1 + 3} = 2 \int \frac{u^2}{u^2 + 4} du$। $I = 2 \int \left( 1 - \frac{4}{u^2 + 4} ight) du = 2u - 8 \int \frac{1}{u^2 + 2^2} du$। $I = 2u - 8 \cdot \frac{1}{2} 	an^{-1}\left( \frac{u}{2} ight) = 2u - 4 	an^{-1}\left( \frac{u}{2} ight)$। $u = \sqrt{e^x - 1}$ वापस रखने पर,$2 \sqrt{e^x - 1} - 4 	an^{-1}\left( \frac{\sqrt{e^x - 1}}{2} ight)$ प्राप्त होता है। सीमा $0$ से $\ln 5$ तक लेने पर: $x = \ln 5$ के लिए,$e^x = 5$,अतः $u = \sqrt{5 - 1} = 2$। $x = 0$ के लिए,$e^x = 1$,अतः $u = \sqrt{1 - 1} = 0$। परिणाम $= [2(2) - 4 	an^{-1}(1)] - [2(0) - 4 	an^{-1}(0)] = 4 - 4(\frac{\pi}{4}) = 4 - \pi$।

$\int\limits_0^{\ln 5} \frac{e^x \sqrt{e^x - 1}}{e^x + 3} dx = $

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