intlimits_{ - 1}^1 {frac{{{x^3} + |x| + 1}}{{ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3} + |x| + 1}}{{{x^2} + 2|x| + 1}}} dx$ है। चूंकि हर ${x^2} + 2|x| + 1 = (|x| + 1)^2$ एक सम फलन है,हम सम

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$a = 2; b = 0$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3} + |x| + 1}}{{{x^2} + 2|x| + 1}}} dx$ है। चूंकि हर ${x^2} + 2|x| + 1 = (|x| + 1)^2$ एक सम फलन है,हम समाकलन को विषम और सम भागों में विभाजित कर सकते हैं। $I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3}}}{{(|x| + 1)^2}}} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{|x| + 1}}{{(|x| + 1)^2}}} dx$। पहला भाग $\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3}}}{{(|x| + 1)^2}}} dx$ एक सममित अंतराल $[-1, 1]$ पर एक विषम फलन का समाकलन है,इसलिए यह $0$ के बराबर है। अतः,$I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1}{{|x| + 1}}} dx$। चूंकि $\frac{1}{{|x| + 1}}$ एक सम फलन है,$I = 2 \int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 1}}} dx$। $I = 2 [\ln(x + 1)]_0^1 = 2(\ln 2 - \ln 1) = 2 \ln 2$। $2 \ln 2$ की तुलना $a \ln 2 + b$ से करने पर,हमें $a = 2$ और $b = 0$ प्राप्त होता है।

$\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3} + |x| + 1}}{{{x^2} + 2|x| + 1}}} dx = a \ln 2 + b$,तो:

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यदि $\int_{-1}^4 f(x) dx = 4$ और $\int_2^4 \{3 - f(x)\} dx = 7$ है, तो $\int_{-1}^2 f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-3}^{3} \frac{x^2 \sin x}{1 + x^6} \, dx = $

मान लीजिए $\int_{-2}^{2} (\sin |x| + [x \sin x]) dx = 2(3 - \cos 2) + \beta$, जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है। तो $\beta \sin \left(\frac{\beta}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_0^{\pi} x f(\sin x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi / 2} \frac{(\cos x)^{\sin x}}{(\cos x)^{\sin x}+(\sin x)^{\cos x}} d x$ का मान है

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