जब n एक पूर्णांक है,तो mathop {Lim}limits_{n | vedclass

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Question

(C) हमें $L = \mathop {Lim}\limits_{n 	o \infty } \cos \left( {\pi \sqrt {{n^2} + n} } ight)$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि $n$ एक पूर्णांक है,हम लिख

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(C) हमें $L = \mathop {Lim}\limits_{n 	o \infty } \cos \left( {\pi \sqrt {{n^2} + n} } ight)$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि $n$ एक पूर्णांक है,हम लिख सकते हैं $\cos \left( {\pi \sqrt {{n^2} + n} } ight) = \cos \left( {n\pi - n\pi + \pi \sqrt {{n^2} + n} } ight) = \cos \left( {n\pi - \pi \left( {n - \sqrt {{n^2} + n} } ight)} ight)$.सर्वसमिका $\cos(n\pi - 	heta) = (-1)^n \cos(	heta)$ का उपयोग करते हुए,$L = \mathop {Lim}\limits_{n 	o \infty } (-1)^n \cos \left( {\pi \left( {n - \sqrt {{n^2} + n} } ight)} ight)$.अब,कोसाइन फलन के अंदर के पद का परिमेयकरण करने पर:$n - \sqrt {{n^2} + n} = \frac{{(n - \sqrt {{n^2} + n} )(n + \sqrt {{n^2} + n} )}}{{n + \sqrt {{n^2} + n} }} = \frac{{{n^2} - ({n^2} + n)}}{{n + \sqrt {{n^2} + n} }} = \frac{{ - n}}{{n + n\sqrt {1 + 1/n} }} = \frac{{ - 1}}{{1 + \sqrt {1 + 1/n} }}$.जैसे $n 	o \infty$,यह पद $\frac{{ - 1}}{{1 + 1}} = -1/2$ की ओर अग्रसर होता है।अतः,$L = \mathop {Lim}\limits_{n 	o \infty } (-1)^n \cos \left( {\pi \left( -\frac{1}{2} ight)} ight) = \mathop {Lim}\limits_{n 	o \infty } (-1)^n \cos \left( -\frac{\pi}{2} ight) = \mathop {Lim}\limits_{n 	o \infty } (-1)^n \cdot 0 = 0$.

जब $n$ एक पूर्णांक है,तो $\mathop {Lim}\limits_{n \to \infty } \cos \left( {\pi \sqrt {{n^2} + n} } \right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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