P और Q केंद्र C और त्रिज्या alpha वाले एक वृत | vedclass

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Question

(B) $	riangle CPQ$ में,$CP = CQ = \alpha$ और $\angle PCQ = 2	heta$ है। आधार $PQ$ की लंबाई $PQ = 2\alpha \sin 	heta$ है।$	riangle CPQ$ का क्षेत्रफल

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$\sin 	heta = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

Vedclass · Answer

(B) $	riangle CPQ$ में,$CP = CQ = \alpha$ और $\angle PCQ = 2	heta$ है। आधार $PQ$ की लंबाई $PQ = 2\alpha \sin 	heta$ है।$	riangle CPQ$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \alpha^2 \sin 2	heta$ है।अर्ध-परिमाप $s = \frac{CP + CQ + PQ}{2} = \frac{\alpha + \alpha + 2\alpha \sin 	heta}{2} = \alpha(1 + \sin 	heta)$ है।अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\frac{1}{2} \alpha^2 \sin 2	heta}{\alpha(1 + \sin 	heta)} = \frac{\alpha}{2} \cdot \frac{2 \sin 	heta \cos 	heta}{1 + \sin 	heta} = \alpha \cdot \frac{\sin 	heta \cos 	heta}{1 + \sin 	heta}$ है।$r$ को अधिकतम करने के लिए,हम $f(	heta) = \frac{\sin 	heta \cos 	heta}{1 + \sin 	heta}$ को अधिकतम करते हैं।मान लीजिए $x = \sin 	heta$ है। तो $\cos 	heta = \sqrt{1 - x^2}$ है। इसलिए $f(x) = \frac{x \sqrt{1 - x^2}}{1 + x} = x \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$ है।$f(x)$ का वर्ग करके,हम $g(x) = x^2 \frac{1 - x}{1 + x} = \frac{x^2 - x^3}{1 + x}$ को अधिकतम करते हैं।$g'(x) = 0$ लेने पर: $\frac{(2x - 3x^2)(1 + x) - (x^2 - x^3)(1)}{(1 + x)^2} = 0$ है।$(2x + 2x^2 - 3x^2 - 3x^3) - (x^2 - x^3) = 0 \implies -2x^3 - 2x^2 + 2x = 0$ है।$-2x(x^2 + x - 1) = 0$ है। चूंकि $x = \sin 	heta > 0$ है,इसलिए $x^2 + x - 1 = 0$ है।$x$ के लिए हल करने पर,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$ है। चूंकि $x > 0$ है,इसलिए $x = \sin 	heta = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ है।

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