एक खुरदरी क्षैतिज सतह पर रखी एक समान वृत्ताकार डिस्क का प्रारंभिक वेग $v_0$ और कोणीय वेग $\omega_0$ है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। गति की दिशा में कुछ दूरी तय करने के बाद डिस्क स्थिर हो जाती है। तब $\frac{v_0}{r\omega_0}$ का मान क्या है?

एक क्षैतिज सतह पर रखे ठोस गोले पर,उसके द्रव्यमान केंद्र से $R/2$ की ऊँचाई पर एक बल $F$ लगाया जाता है। गोले के शीर्ष बिंदु का प्रारंभिक त्वरण क्या होगा? (किसी भी बिंदु पर फिसलन नहीं है)।

$5 \text{ g}$ द्रव्यमान और $4/3 \text{ cm}$ त्रिज्या का एक पतला वृत्ताकार सिक्का शुरू में एक क्षैतिज $xy$-तल में है। सिक्के को उसके केंद्र से $r = 2/3 \text{ cm}$ की दूरी पर $J = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \times 10^{-2} \text{ N-s}$ का आवेग देकर लंबवत ऊपर ($+z$ दिशा) उछाला जाता है। सिक्का अपने व्यास के परितः घूमता है और $+z$ दिशा में गति करता है। जब तक सिक्का अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आता है,तब तक वह $n$ घूर्णन पूरा करता है। $n$ का मान ज्ञात कीजिए। [दिया गया है: गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \text{ m/s}^2$]

चित्र $1$ में दिखाए अनुसार एक व्यक्ति अपनी उंगली के सिरे के पास $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार रिंग को घुमाता है। इस प्रक्रिया में,उंगली रिंग के भीतरी रिम के साथ संपर्क कभी नहीं खोती है। उंगली एक शंकु की सतह बनाती है,जिसे बिंदीदार रेखा द्वारा दिखाया गया है। रिंग और उंगली के संपर्क बिंदु द्वारा बनाए गए पथ की त्रिज्या $r$ है। उंगली $\omega_0$ कोणीय वेग के साथ घूमती है। घूमती हुई रिंग उस छोटे वृत्त के बाहर बिना फिसले लुढ़कती है जो रिंग और उंगली के संपर्क बिंदु द्वारा वर्णित है (चित्र $2$)। रिंग और उंगली के बीच घर्षण गुणांक $\mu$ है और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ है।
$(1)$ रिंग की कुल गतिज ऊर्जा है
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ का न्यूनतम मान जिसके नीचे रिंग नीचे गिर जाएगी,वह है
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ के उत्तर दें:

$M$ द्रव्यमान,$a$ आंतरिक त्रिज्या और $b$ बाहरी त्रिज्या वाली एक वलयाकार डिस्क को $\mu$ घर्षण गुणांक वाली क्षैतिज सतह पर चित्र में दिखाए अनुसार रखा गया है। किसी समय,डिस्क के केंद्र से $h$ ऊँचाई पर $J_0 \hat{x}$ का आवेग (impulse) लगाया जाता है। यदि $h=h_m$ है,तो डिस्क $x$-अक्ष पर बिना फिसले लुढ़कती है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ $\mu \neq 0$ और $a \rightarrow 0$ के लिए,$h_m=b / 2$
$(B)$ $\mu \neq 0$ और $a \rightarrow b$ के लिए,$h_m=b$
$(C)$ $h=h_m$ के लिए,प्रारंभिक कोणीय वेग आंतरिक त्रिज्या $a$ पर निर्भर नहीं करता है।
$(D)$ $\mu=0$ और $h=0$ के लिए,पहिया हमेशा बिना लुढ़के फिसलता है।

$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की एक समान छड़,जो अपने एक सिरे पर कब्जेदार (hinged) है,को क्षैतिज स्थिति में विराम से छोड़ा जाता है। जब छड़ ऊर्ध्वाधर हो जाती है,तो कब्जे पर सामान्य प्रतिक्रिया बल क्या होगा?