mathop {lim }limits_{n to infty } {left{ {lef | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } {\left\{ {\prod\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {1 + \frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}} ight)} } ight

Vedclass · Accepted Answer

$2e^{(\pi - 4)/2}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } {\left\{ {\prod\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {1 + \frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}} ight)} } ight\}^{1/n}}$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:$\ln L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\ln \left( {1 + \frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}} ight)}$.આ $\int_0^1 {\ln (1 + x^2) dx}$ સ્વરૂપનો રીમાન સરવાળો છે.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \ln(1+x^2)$ અને $dv = dx$ લેતા:$\int {\ln (1 + {x^2})dx} = x\ln (1 + {x^2}) - 2x + 2	an^{-1}(x)$.$0$ થી $1$ સુધીની સીમાઓ મૂકતા:$\ln(2) - 2 + \frac{\pi}{2} = \ln(2) + \frac{\pi - 4}{2}$.તેથી,$L = e^{\ln(2) + (\pi - 4)/2} = 2e^{(\pi - 4)/2}$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left\{ {\left( {1 + \frac{{{1^2}}}{{{n^2}}}} \right)\left( {1 + \frac{{{2^2}}}{{{n^2}}}} \right)\left( {1 + \frac{{{3^2}}}{{{n^2}}}} \right) \dots \left( {1 + \frac{{{{(n - 1)}^2}}}{{{n^2}}}} \right)} \right\}^{1/n}}$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

નીચેના નિશ્ચિત સંકલનનું સરવાળાના લક્ષ તરીકે મૂલ્ય શોધો:
$\int_{0}^{4} (x + e^{2x}) \, dx$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\left( {\frac{n}{{{n^2} + {1^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {2^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {3^2}}} + ... + \frac{n}{{{n^2} + {{(2n)}^2}}}} \right)$ ની કિંમત શોધો.

નીચેના નિશ્ચિત સંકલનનું સરવાળાના લક્ષ તરીકે મૂલ્ય શોધો: $\int_{-1}^{1} e^{x} dx$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n\left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k}{n^{k+1}}\right]=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module