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Question

(C) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } {\left\{ {\prod\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {1 + \frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}} ight)} } ight\}^

Vedclass · Accepted Answer

$2e^{(\pi - 4)/2}$

Vedclass · Answer

(C) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } {\left\{ {\prod\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {1 + \frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}} ight)} } ight\}^{1/n}}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\ln \left( {1 + \frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}} ight)}$.यह $\int_0^1 {\ln (1 + x^2) dx}$ के रूप में एक रीमान योग है।खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \ln(1+x^2)$ और $dv = dx$ लेने पर:$\int {\ln (1 + {x^2})dx} = x\ln (1 + {x^2}) - 2x + 2	an^{-1}(x)$.$0$ से $1$ तक सीमाएँ रखने पर:$\ln(2) - 2 + \frac{\pi}{2} = \ln(2) + \frac{\pi - 4}{2}$.अतः,$L = e^{\ln(2) + (\pi - 4)/2} = 2e^{(\pi - 4)/2}$.

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