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Question

(B) दिया गया व्यंजक $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2-r^2}}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1

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$\frac{\pi}{2}$

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(B) दिया गया व्यंजक $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2-r^2}}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n-1} \frac{1}{n \sqrt{1-(\frac{r}{n})^2}}$ के रूप में लिख सकते हैं।योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n-1} f(\frac{r}{n}) = \int_0^1 f(x) dx$ होता है।यहाँ,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ है।अतः,$S = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$।समाकल का मान ज्ञात करने पर,$S = [\sin ^{-1} x]_0^1$ प्राप्त होता है।$S = \sin ^{-1}(1) - \sin ^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$।

निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-2^2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)$ का मान किसके बराबर है?

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^2-1^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-2^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-3^2}}{n^2}+\ldots+\frac{\sqrt{n^2-n^2}}{n^2}\right]=$

मान लीजिए $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ और $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ जहाँ $n=1, 2, 3, \ldots$ है। तो,

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