lim _{n rightarrow infty} frac{1}{n} sum_{j=1 | vedclass

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Question

(C) हमें सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{(2 j-1)+8 n}{(2 j-1)+4 n}$ दी गई है।योग के अंदर के पद के अंश और हर को

Vedclass · Accepted Answer

$1+2 \log _{e}\left(\frac{3}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(C) हमें सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{(2 j-1)+8 n}{(2 j-1)+4 n}$ दी गई है।योग के अंदर के पद के अंश और हर को $n$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{2(\frac{j}{n}) - \frac{1}{n} + 8}{2(\frac{j}{n}) - \frac{1}{n} + 4}$.रीमैन योग की सीमा के रूप में निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,जहाँ $n \rightarrow \infty$ होने पर $\frac{j}{n} \rightarrow x$ और $\frac{1}{n} \rightarrow dx$ होता है,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:$L = \int_{0}^{1} \frac{2x + 8}{2x + 4} dx$.हम समाकल्य को इस प्रकार सरल कर सकते हैं:$\frac{2x + 8}{2x + 4} = \frac{(2x + 4) + 4}{2x + 4} = 1 + \frac{4}{2x + 4} = 1 + \frac{2}{x + 2}$.अब,$x$ के सापेक्ष $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर:$L = \int_{0}^{1} (1 + \frac{2}{x + 2}) dx = [x + 2 \ln|x + 2|]_{0}^{1}$.निश्चित समाकल का मान ज्ञात करने पर:$L = (1 + 2 \ln(3)) - (0 + 2 \ln(2)) = 1 + 2(\ln(3) - \ln(2)) = 1 + 2 \ln(\frac{3}{2})$.अतः,सही विकल्प $C$ है।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{(2 j-1)+8 n}{(2 j-1)+4 n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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