योगफल की सीमा के रूप में int_2^3 x^2 dx का मू | vedclass

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Question

(D) हम निश्चित समाकल की परिभाषा का योगफल की सीमा के रूप में उपयोग करते हैं: $\int_a^b f(x) dx = \lim_{h 	o 0} h \sum_{r=0}^{n-1} f(a+rh)$,जहाँ $nh =

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$\frac{19}{3}$

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(D) हम निश्चित समाकल की परिभाषा का योगफल की सीमा के रूप में उपयोग करते हैं: $\int_a^b f(x) dx = \lim_{h 	o 0} h \sum_{r=0}^{n-1} f(a+rh)$,जहाँ $nh = b-a$.यहाँ,$a=2$,$b=3$,और $f(x)=x^2$ है। अतः,$nh = 3-2 = 1$.$I = \lim_{h 	o 0} h \sum_{r=0}^{n-1} (2+rh)^2 = \lim_{h 	o 0} h \sum_{r=0}^{n-1} (4 + 4rh + r^2h^2)$.$I = \lim_{h 	o 0} [4nh + 4h^2 \sum_{r=0}^{n-1} r + h^3 \sum_{r=0}^{n-1} r^2]$.सूत्रों $\sum_{r=0}^{n-1} r = \frac{(n-1)n}{2}$ और $\sum_{r=0}^{n-1} r^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ का उपयोग करने पर:$I = \lim_{h 	o 0} [4nh + 4h^2 \frac{(n-1)n}{2} + h^3 \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}]$.चूँकि $nh=1$,हमें प्राप्त होता है $I = \lim_{h 	o 0} [4(1) + 2(nh-h)(nh) + \frac{(nh-h)(nh)(2nh-h)}{6}]$.$nh=1$ और $h 	o 0$ प्रतिस्थापित करने पर:$I = 4 + 2(1)(1) + \frac{(1)(1)(2)}{6} = 4 + 2 + \frac{1}{3} = 6 + \frac{1}{3} = \frac{19}{3}$.

योगफल की सीमा के रूप में $\int_2^3 x^2 dx$ का मूल्यांकन कीजिए।

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