$m$ દળ ધરાવતા એક પદાર્થને $u$ ઝડપથી જમીન સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે। પ્રક્ષિપ્ત બિંદુની સાપેક્ષે મહત્તમ ઊંચાઈએ પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $\frac{\sqrt{2} mu^3}{Xg}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે। '$X$' નું મૂલ્ય કેટલું છે?

એક પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને $xy$ સમતલમાં ઉગમબિંદુથી ($x$ સમક્ષિતિજ અને $y$ શિરોલંબ ઉપરની દિશા છે) $x$-અક્ષ સાથે $\alpha$ ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે. જો ઉગમબિંદુથી તેનું અંતર $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ ને $x$ ની સાપેક્ષ આલેખવામાં આવે,તો પરિણામી વક્રો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\alpha_1$ અને $\alpha_2$ માટે અલગ-અલગ વર્તણૂક દર્શાવે છે. $\alpha_1$ માટે,$r(x)$ એ $x$ સાથે સતત વધે છે,જ્યારે $\alpha_2$ માટે,$r(x)$ વધે છે અને મહત્તમ સુધી પહોંચે છે,પછી ઘટે છે અને ફરીથી વધતા પહેલા ન્યૂનતમમાંથી પસાર થાય છે. આ બે કિસ્સાઓ વચ્ચેનું પરિવર્તન એક ક્રાંતિકોણ $\alpha_c$ $(\alpha_1 < \alpha_c < \alpha_2)$ પર થાય છે. $\alpha_c$ નું મૂલ્ય શોધો (જ્યાં $v_0$ એ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની પ્રારંભિક ઝડપ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે).

એક બિંદુ $x-y$ સમતલમાં $x = 3 \cos 4t$ અને $y = 3(1 - \sin 4t)$ ના નિયમ મુજબ ગતિ કરે છે. $2 \text{ s}$ માં કણ દ્વારા કાપેલું અંતર...........$m$ છે (જ્યાં $x$ અને $y$ મીટરમાં છે).

વિધાન $(A)$: જ્યારે કોઈ વાહન રસ્તા પર વળાંક લે છે,ત્યારે તે વક્ર માર્ગ પર ગતિ કરે છે. કારણ $(R)$: વક્ર માર્ગ પર,વાહનનો વેગ સમાન રહે છે.

એક કણ $6 \, m/s$ ની ઝડપે પૂર્વ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યો છે. $6 \, s$ પછી,કણ તે જ ઝડપે પૂર્વથી $60^{\circ}$ ઉત્તર દિશામાં ગતિ કરતો જોવા મળે છે. આ સમયગાળા દરમિયાન સરેરાશ પ્રવેગનું મૂલ્ય ....... $m/s^2$ છે.

એક છોકરો $100 \,g$ દળના પથ્થરને $2 \,m$ લાંબી દોરીના છેડે બાંધે છે અને તેને સમક્ષિતિજ સમતલમાં ફેરવે છે. દોરી મહત્તમ $80 \,N$ નું તણાવ સહન કરી શકે છે. જો પથ્થર જે મહત્તમ ઝડપથી ફરી શકે તે $\frac{K}{\pi} \,rev/min$ હોય,તો $K$ નું મૂલ્ય શોધો. (ધારો કે દોરી દળરહિત અને અસ્થિતિસ્થાપક છે)