ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ની જીવા $PQ$ તેના કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણો આંતરે છે. $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

ઉપવલય $\frac{x^2}{27} + y^2 = 1$ પર બિંદુ $(3\sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ (જ્યાં $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$) આગળ સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે. તો $\theta$ ની કઈ કિંમત માટે આ સ્પર્શક દ્વારા અક્ષો પર બનતા અંતઃખંડોનો સરવાળો ન્યૂનતમ થાય?

ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $1/2$ છે. જો તેની એક નિયામિકા $x = 4$ હોય,તો ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો:

ઉપવલયની નાભિઓ $(2,5)$ અને $(2,-3)$ છે અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $\frac{4}{5}$ છે,તો તેના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

એક માણસ રેસકોર્સ પર દોડતી વખતે નોંધે છે કે બે ફ્લેગ પોસ્ટથી તેના અંતરનો સરવાળો હંમેશા $10 \, m$ છે અને ફ્લેગ પોસ્ટ વચ્ચેનું અંતર $8 \, m$ છે. માણસ દ્વારા અનુસરવામાં આવેલા માર્ગનું સમીકરણ શોધો.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના નાભિલંબના એક અંત્યબિંદુ આગળનો અભિલંબ ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુમાંથી પસાર થતો હોય,તો $\frac{e^4}{1-e^2}=$ (અહીં $e$ એ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે)