$2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું એક વર્તુળ $C$ બીજા ચરણમાં આવેલું છે અને બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે. ધારો કે $r$ એવા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે જેનું કેન્દ્ર $(2, 5)$ બિંદુ પર છે અને તે વર્તુળ $C$ ને બરાબર બે બિંદુઓમાં છેદે છે. જો $r$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો ગણ અંતરાલ $(\alpha, \beta)$ હોય,તો $3 \beta - 2 \alpha$ ની કિંમત શોધો:

જો વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પરના કોઈ બિંદુથી,વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c \sin^2 \alpha + (g^2+f^2) \cos^2 \alpha = 0$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે,જ્યાં $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$,તો તે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો થાય?

જો બિંદુ $P$ માંથી વર્તૂળો $x^{2} + y^{2} = a^2$,$x^2 + y^{2} = b^2$ અને $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈનો વર્ગ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો:

ઉગમબિંદુમાંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 20(x + y) + 20 = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ મેળવો.

આપેલ ફકરામાં આપેલી માહિતીના આધારે યાદીઓને યોગ્ય રીતે જોડીને નીચેનાનો જવાબ આપો.
ધારો કે વર્તુળો $C_1: x^2+y^2=9$ અને $C_2: (x-3)^2+(y-4)^2=16$ એ બિંદુઓ $X$ અને $Y$ પર છેદે છે. ધારો કે બીજું વર્તુળ $C_3: (x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ નીચેની શરતો સંતોષે છે:
$(i)$ $C_3$ નું કેન્દ્ર $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રો સાથે સમરેખ છે.
$(ii)$ $C_1$ અને $C_2$ બંને $C_3$ ની અંદર આવેલા છે.
$(iii)$ $C_3$ એ $C_1$ ને $M$ પર અને $C_2$ ને $N$ પર સ્પર્શે છે.
ધારો કે $X$ અને $Y$ માંથી પસાર થતી રેખા $C_3$ ને $Z$ અને $W$ પર છેદે છે,અને ધારો કે $C_1$ અને $C_3$ નો સામાન્ય સ્પર્શક એ પરવલય $x^2=8 \alpha y$ નો સ્પર્શક છે.
$List-I$ માં કેટલીક અભિવ્યક્તિઓ આપવામાં આવી છે જેના મૂલ્યો નીચે $List-II$ માં આપેલા છે:

$List-I$	$List-II$
$(I) \ 2h + k$	$(P) \ 6$
$(II) \ \frac{\text{Length of } ZW}{\text{Length of } XY}$	$(Q) \ \sqrt{6}$
$(III) \ \frac{\text{Area of triangle } MZN}{\text{Area of triangle } ZMW}$	$(R) \ \frac{5}{4}$
$(IV) \ \alpha$	$(S) \ \frac{21}{5}$
	$(T) \ 2\sqrt{6}$
	$(U) \ \frac{10}{3}$

$(1)$ નીચેનામાંથી કઈ એકમાત્ર ખોટી જોડી છે?
$(1) (IV), (S) \quad (2) (IV), (U) \quad (3) (III), (R) \quad (4) (I), (P)$
$(2)$ નીચેનામાંથી કઈ એકમાત્ર સાચી જોડી છે?
$(1) (II), (T) \quad (2) (I), (S) \quad (3) (I), (U) \quad (4) (II), (Q)$

વર્તુળ $x^2+y^2=9$ અને પરવલય $y^2=8x$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે