$R$ ત્રિજ્યાની એક વર્તુળાકાર તકતીને $a$ ત્રિજ્યાના અપારદર્શક અર્ધગોળાકાર વાટકાની અંદર અક્ષીય રીતે અને સમક્ષિતિજ રીતે મૂકવામાં આવી છે (આકૃતિ જુઓ). જ્યારે વાટકાની ધાર પરથી જોવામાં આવે ત્યારે તકતીની દૂરની ધાર માંડ દેખાય છે. વાટકાને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પારદર્શક પ્રવાહીથી ભરવામાં આવે છે અને તકતીની નજીકની ધાર માંડ દેખાય છે. તકતી વાટકાની ઉપરની સપાટીથી કેટલી નીચે મૂકવામાં આવી છે?
(N/A) ધારો કે વાટકાની ઉપરની સપાટીથી તકતીની ઊંડાઈ $d$ છે.
$1$. વાટકાને પ્રવાહીથી ભરતા પહેલા,દૂરની ધાર $A$ એ વાટકાની ધાર $M$ પરથી માંડ દેખાય છે. ઊંડાઈ $d$ અને અંતર $(a+R)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,આપણને $\tan \alpha = \frac{a+R}{d}$ મળે છે,જ્યાં $\alpha$ એ શિરોલંબ સાથે કિરણનો ખૂણો છે.
$2$. જ્યારે વાટકાને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે નજીકની ધાર $B$ દેખાય છે. $B$ માંથી આવતું કિરણ સપાટી પર $M$ બિંદુએ પહોંચે છે અને હવામાં વક્રીભવન પામે છે. $M$ બિંદુએ સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu \sin i = 1 \sin \alpha$,જ્યાં $i$ એ $B$ માંથી આપાતકોણ છે અને $\alpha$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
$3$. ભૂમિતિ પરથી,$\sin i = \frac{a-R}{\sqrt{d^2 + (a-R)^2}}$ અને $\sin \alpha = \frac{a+R}{\sqrt{d^2 + (a+R)^2}}$.
$4$. આ કિંમતોને સ્નેલના નિયમમાં મૂકતા: $\mu \frac{a-R}{\sqrt{d^2 + (a-R)^2}} = \frac{a+R}{\sqrt{d^2 + (a+R)^2}}$.
$5$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\mu^2 \frac{(a-R)^2}{d^2 + (a-R)^2} = \frac{(a+R)^2}{d^2 + (a+R)^2}$.
$6$. $d^2$ માટે ઉકેલતા: $d^2 = \frac{(a-R)^2 (a+R)^2 (\mu^2 - 1)}{(a+R)^2 - \mu^2 (a-R)^2}$.
$7$. તેથી,$d = \sqrt{\frac{(a^2-R^2)^2 (\mu^2-1)}{(a+R)^2 - \mu^2(a-R)^2}}$.
$1$. વાટકાને પ્રવાહીથી ભરતા પહેલા,દૂરની ધાર $A$ એ વાટકાની ધાર $M$ પરથી માંડ દેખાય છે. ઊંડાઈ $d$ અને અંતર $(a+R)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,આપણને $\tan \alpha = \frac{a+R}{d}$ મળે છે,જ્યાં $\alpha$ એ શિરોલંબ સાથે કિરણનો ખૂણો છે.
$2$. જ્યારે વાટકાને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે નજીકની ધાર $B$ દેખાય છે. $B$ માંથી આવતું કિરણ સપાટી પર $M$ બિંદુએ પહોંચે છે અને હવામાં વક્રીભવન પામે છે. $M$ બિંદુએ સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu \sin i = 1 \sin \alpha$,જ્યાં $i$ એ $B$ માંથી આપાતકોણ છે અને $\alpha$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
$3$. ભૂમિતિ પરથી,$\sin i = \frac{a-R}{\sqrt{d^2 + (a-R)^2}}$ અને $\sin \alpha = \frac{a+R}{\sqrt{d^2 + (a+R)^2}}$.
$4$. આ કિંમતોને સ્નેલના નિયમમાં મૂકતા: $\mu \frac{a-R}{\sqrt{d^2 + (a-R)^2}} = \frac{a+R}{\sqrt{d^2 + (a+R)^2}}$.
$5$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\mu^2 \frac{(a-R)^2}{d^2 + (a-R)^2} = \frac{(a+R)^2}{d^2 + (a+R)^2}$.
$6$. $d^2$ માટે ઉકેલતા: $d^2 = \frac{(a-R)^2 (a+R)^2 (\mu^2 - 1)}{(a+R)^2 - \mu^2 (a-R)^2}$.
$7$. તેથી,$d = \sqrt{\frac{(a^2-R^2)^2 (\mu^2-1)}{(a+R)^2 - \mu^2(a-R)^2}}$.
Explore More
Similar Questions
$2d$ ઊંચાઈ ધરાવતું એક પાત્ર અડધું $\sqrt{2}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીથી અને બાકીનું અડધું $n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીથી ભરેલું છે (આપેલ પ્રવાહીઓ મિશ્ર ન થઈ શકે તેવા છે). તો પાત્રના તળિયે રહેલી આંતરિક સપાટીની આભાસી ઊંડાઈ (પાત્રના તળિયાની જાડાઈને અવગણતા) કેટલી થશે?
DifficultKCET 2007
View Solutionજો $n_{21} > 1$ હોય,તો આપાતકોણ અને વક્રીભવનકોણ વચ્ચેનો સંબંધ લખો.
Medium
View Solutionમોટાભાગના પદાર્થોનો વક્રીભવનાંક $n > 1$ હોય છે. તેથી,જ્યારે હવામાંથી પ્રકાશનું કિરણ કુદરતી રીતે મળતા પદાર્થમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{n_2}{n_1}$,તે સમજી શકાય છે કે વક્રીભૂત કિરણ લંબ તરફ વળે છે. પરંતુ તે ક્યારેય આપાત કિરણની જેમ લંબની એક જ બાજુએ બહાર આવતું નથી. વિદ્યુતચુંબકત્વ મુજબ,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = \left(\frac{c}{v}\right) = \pm \sqrt{\varepsilon_r \mu_r}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યાં $\varepsilon_r$ અને $\mu_r$ ઋણ હોય,ત્યારે $n$ નું ઋણ મૂળ પસંદ કરવું આવશ્યક છે. આવા ઋણ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પદાર્થો હવે કૃત્રિમ રીતે તૈયાર કરી શકાય છે અને તેને મેટા-મટીરીયલ્સ કહેવામાં આવે છે. તેઓ કોઈપણ ભૌતિક નિયમોનું ઉલ્લંઘન કર્યા વિના નોંધપાત્ર રીતે અલગ ઓપ્ટિકલ વર્તન દર્શાવે છે. $n$ ઋણ હોવાથી,તે વક્રીભૂત પ્રકાશના પ્રસરણની દિશામાં ફેરફાર લાવે છે. જો કે,સામાન્ય પદાર્થોની જેમ,મેટા-મટીરીયલ્સમાં પણ વક્રીભવન દરમિયાન પ્રકાશની આવૃત્તિ બદલાતી નથી.
$1.$ સાચું વિધાન પસંદ કરો.
$(A)$ મેટા-મટીરીયલમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c|n|$ છે.
$(B)$ મેટા-મટીરીયલમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{|n|}$ છે.
$(C)$ મેટા-મટીરીયલમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c$ છે.
$(D)$ મેટા-મટીરીયલમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ એ $\lambda_m = \frac{\lambda_{\text{air}}}{|n|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_{\text{air}}$ એ હવામાં પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
$2.$ હવામાંથી મેટા-મટીરીયલ પર આપાત થતા પ્રકાશ માટે,યોગ્ય કિરણ આકૃતિ કઈ છે?
$1.$ સાચું વિધાન પસંદ કરો.
$(A)$ મેટા-મટીરીયલમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c|n|$ છે.
$(B)$ મેટા-મટીરીયલમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{|n|}$ છે.
$(C)$ મેટા-મટીરીયલમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c$ છે.
$(D)$ મેટા-મટીરીયલમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ એ $\lambda_m = \frac{\lambda_{\text{air}}}{|n|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_{\text{air}}$ એ હવામાં પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
$2.$ હવામાંથી મેટા-મટીરીયલ પર આપાત થતા પ્રકાશ માટે,યોગ્ય કિરણ આકૃતિ કઈ છે?
પ્રકાશનું વક્રીભવન એટલે શું? વક્રીભવનના નિયમો સમજાવો.
Medium
View Solutionએક માધ્યમમાં પ્રકાશના તરંગની ઝડપ મુક્ત અવકાશમાં તેની ઝડપના $0.2$ ગણી ઘટે છે. માધ્યમની સાપેક્ષ પરમિટિવિટી અને વક્રીભવનાંકનો ગુણોત્તર $x: 1$ છે. $x$ નું મૂલ્ય $...........$ છે. (આપેલ છે: મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $= 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ અને આપેલ માધ્યમ માટે $\mu_r = 1$)
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo