$1000 \ m$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार सड़क का बैंकिंग कोण $45^o$ है। यदि टायर और सड़क के बीच घर्षण गुणांक $0.5$ है,तो $2000 \ kg$ द्रव्यमान वाली कार की अधिकतम सुरक्षित गति ........ $m/s$ होगी।

$10 \text{ g}$ पदार्थ '$X$' में $6.023 \times 10^{22}$ अणु उपस्थित हैं। $2 \text{ L}$ विलयन में $5 \text{ g}$ पदार्थ '$X$' वाले विलयन की मोलरता ........... $\times 10^{-3} \text{ M}$ है।

कथन $(A)$: ऑप्टिकल फाइबर का उपयोग संचार नेटवर्क में व्यापक रूप से किया जाता है। कारण $(R)$: ऑप्टिकल फाइबर आकार में छोटे,वजन में हल्के,लचीले होते हैं और उनमें हस्तक्षेप (interference) की कोई संभावना नहीं होती है।

$(a)$ सिद्ध कीजिए कि $10$ के साथ सापेक्ष अभाज्य प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,एक ऐसी प्राकृतिक संख्या $m$ मौजूद है जिसके सभी अंक $1$ हैं और $n$,$m$ को विभाजित करता है।
$(b)$ इसके आधार पर या अन्यथा सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या को कुछ प्राकृतिक संख्याओं $a, b, c$ के लिए $\frac{a}{10^b(10^c-1)}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$X-$ यह विकास (evolution) की प्रक्रिया के लिए बहुत महत्वपूर्ण है।
$Y-$ क्रॉसिंग ओवर दो समजात गुणसूत्रों (homologous chromosomes) के बीच आनुवंशिक सामग्री का आदान-प्रदान है।

मुक्त आकाश में एक विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए विद्युत क्षेत्र $E = \hat{i} 30 \cos (kz - 5 \times 10^8 t)$ है,जहाँ $E$ का परिमाण $V/m$ में है। तरंग सदिश $k$ का परिमाण ज्ञात कीजिए (मुक्त आकाश में $EM$ तरंग का वेग $= 3 \times 10^8 \ m/s$)।