એક સતત વિધેય f: R rightarrow R એ સમીકરણ f(x) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ સમીકરણ $f(x) = x + \int_0^x f(t) \, dt$ છે.કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) =

Vedclass · Accepted Answer

$f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ સમીકરણ $f(x) = x + \int_0^x f(t) \, dt$ છે.કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 1 + f(x)$ મળે છે.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $f'(x) - f(x) = 1$.સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ વડે ગુણતા: $e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) = e^{-x}$.$e^{-x} f(x) = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C$.$f(x) = -1 + C e^x$.કારણ કે $f(0) = 0 + \int_0^0 f(t) \, dt = 0$,તેથી $0 = -1 + C$,એટલે કે $C = 1$.આમ,$f(x) = e^x - 1$.હવે,$f(x) + f(y) + f(x)f(y) = (e^x - 1) + (e^y - 1) + (e^x - 1)(e^y - 1)$ ધ્યાનમાં લો.$= e^x - 1 + e^y - 1 + e^{x+y} - e^x - e^y + 1$.$= e^{x+y} - 1 = f(x+y)$.તેથી,$f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)$.

યાદી $I$ (વિકલ સમીકરણ)	યાદી $II$ (સંકલ્યકારક અવયવ)
$(P)$ $(x^3+1)\frac{dy}{dx}+x^2y=3x^2$	$(1)$ $x^3$
$(Q)$ $x^2\frac{dy}{dx}+3xy=x^6$	$(2)$ $(x^3+1)^2$
$(R)$ $(x^3+1)^2\frac{dy}{dx}+6x^2(x^3+1)y=x^2$	$(3)$ $(x^2+1)^2$
$(S)$ $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\ln x$	$(4)$ $x^2+1$
	$(5)$ $(x^3+1)^{1/3}$
	$(6)$ $(x^3+1)^{1/2}$

એક સતત વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ સમીકરણ $f(x) = x + \int_0^x f(t) \, dt$ નું સમાધાન કરે છે. નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

Similar Questions

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sec x \frac{dy}{dx} - 2y = 2 + 3 \sin x$ નો ઉકેલ છે, જ્યાં $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ અને $y(0) = -\frac{7}{4}$ છે. તો $y(\frac{\pi}{6})$ ની કિંમત શોધો:

વિકલ સમીકરણ $(1+\sin^2 x) \frac{dy}{dx} + y \sin 2x = \cos x + \sin^2 x \cos x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2+1) y^{\prime}-2 x y=(x^4+2 x^2+1) \cos x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0)=1$ છે. તો $\int_{-3}^3 y(x) d x$ ની કિંમત શોધો:

$(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy - 4x^2 = 0$ નો ઉકેલ શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module