एक वक्र बिंदु left(1, frac{pi}{6}right) से हो | vedclass

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Question

(A) वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec\left(\frac{y}{x}\right)$ द्वारा दी गई है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $v = \frac{y}{x}$

Vedclass · Accepted Answer

$\sin \left(\frac{y}{x}\right)=\log x+\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec\left(\frac{y}{x}\right)$ द्वारा दी गई है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $v = \frac{y}{x}$,तो $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ होगा।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = v + \sec(v)$.यह सरल होकर $x\frac{dv}{dx} = \sec(v)$ हो जाता है,जिसे $\cos(v) dv = \frac{1}{x} dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cos(v) dv = \int \frac{1}{x} dx$.इससे $\sin(v) = \ln|x| + C$ प्राप्त होता है।$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर,हमें $\sin\left(\frac{y}{x}\right) = \ln|x| + C$ मिलता है।वक्र $\left(1, \frac{\pi}{6}\right)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\sin\left(\frac{\pi/6}{1}\right) = \ln(1) + C$.चूंकि $\sin(\pi/6) = 1/2$ और $\ln(1) = 0$,इसलिए $C = 1/2$ प्राप्त होता है।अतः,वक्र का समीकरण $\sin\left(\frac{y}{x}\right) = \ln x + \frac{1}{2}$ है।

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