एक वक्र बिंदु left( 1, frac{pi}{4} right) से | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \left( \frac{y}{x} \right)$.माना $v = \frac{y}{x}$,तो $y = vx$. $x$ के सापेक्ष अवकलन क

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$y = x 	an^{-1} \left( \ln \frac{e}{x} ight)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \left( \frac{y}{x} ight)$.माना $v = \frac{y}{x}$,तो $y = vx$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \cos^2 v$.यह सरल होकर $x \frac{dv}{dx} = -\cos^2 v$ हो जाता है।चरों को अलग करने पर: $\sec^2 v \, dv = -\frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sec^2 v \, dv = -\int \frac{dx}{x} \implies 	an v = -\ln |x| + C$.चूंकि वक्र बिंदु $\left( 1, \frac{\pi}{4} ight)$ से गुजरता है,इसलिए जब $x = 1$ है तो $v = \frac{\pi}{4}$ है।$	an \left( \frac{\pi}{4} ight) = -\ln(1) + C \implies 1 = 0 + C \implies C = 1$.अतः,$	an v = 1 - \ln x = \ln e - \ln x = \ln \left( \frac{e}{x} ight)$.इसलिए,$v = 	an^{-1} \left( \ln \frac{e}{x} ight)$.$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,हमें $y = x 	an^{-1} \left( \ln \frac{e}{x} ight)$ प्राप्त होता है।

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