अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{x + y}{x - y} | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}$। यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।इन्हें समी

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$c(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} = e^{	an^{-1}(\frac{y}{x})}$, जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}$। यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1 + v}{1 - v}$।$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{1 + v - v + v^2}{1 - v} = \frac{1 + v^2}{1 - v}$।चरों को पृथक करने पर: $\frac{1 - v}{1 + v^2} dv = \frac{dx}{x}$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{1 + v^2} dv - \int \frac{v}{1 + v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$।$	an^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(1 + v^2) = \ln|x| + C_1$।$	an^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(1 + \frac{y^2}{x^2}) + C_1 = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(\frac{x^2 + y^2}{x^2}) + C_1$।$	an^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) - \ln|x| + C_1 = \ln((x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}) + C_1$।दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $e^{	an^{-1}(\frac{y}{x})} = e^{C_1} (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}$।माना $e^{C_1} = \frac{1}{c}$, तब $c e^{	an^{-1}(\frac{y}{x})} = (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}$ या $c(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} = e^{	an^{-1}(\frac{y}{x})}$।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}$ का हल है

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