y^2 dx + (x^2 - xy + y^2) dy = 0 का व्यापक हल | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (x^2 - xy + y^2) dy = 0$ है।इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{-y^2}{x^2 - xy + y^2}$ प्राप्त होता ह

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$	an^{-1}(\frac{y}{x}) = \log y + C$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (x^2 - xy + y^2) dy = 0$ है।इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{-y^2}{x^2 - xy + y^2}$ प्राप्त होता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ होगा।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{-(vx)^2}{x^2 - x(vx) + (vx)^2} = \frac{-v^2}{1 - v + v^2}$।अतः $x \frac{dv}{dx} = \frac{-v^2}{1 - v + v^2} - v = \frac{-v^2 - v + v^2 - v^3}{1 - v + v^2} = \frac{-(v^3 + v)}{v^2 - v + 1}$।चरों को अलग करने पर: $\frac{v^2 - v + 1}{v^3 + v} dv = -\frac{1}{x} dx$।आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{v^2 - v + 1}{v(v^2 + 1)} = \frac{1}{v} - \frac{1}{v^2 + 1}$।अतः,$(\frac{1}{v} - \frac{1}{v^2 + 1}) dv = -\frac{1}{x} dx$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\log|v| - 	an^{-1}(v) = -\log|x| + C$।$\log|vx| = 	an^{-1}(v) + C$।चूंकि $y = vx$,इसलिए $\log|y| = 	an^{-1}(\frac{y}{x}) + C$,अर्थात $	an^{-1}(\frac{y}{x}) = \log y + C$।

$y^2 dx + (x^2 - xy + y^2) dy = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए:

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