अवकल समीकरण $\left(x \sin \frac{y}{x}\right) dy = \left(y \sin \frac{y}{x} - x\right) dx$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

प्रतिस्थापन $x=vy$ निम्नलिखित में से किस अवकल समीकरण को चर पृथक्करण विधि द्वारा हल किए जाने योग्य समीकरण में परिवर्तित करता है?

$I: y^{\prime}=\frac{y+x}{x} ; \quad II: y^{\prime}=\frac{x^2+y}{x^3} ; \quad III: y^{\prime}=\frac{2xy}{y^2-x^2}$
$S1$: $I$ और $II$ द्वारा दिए गए अवकल समीकरण समघातीय (homogeneous) अवकल समीकरण हैं।
$S2$: $II$ और $III$ द्वारा दिए गए अवकल समीकरण समघातीय अवकल समीकरण हैं।
$S3$: $I$ और $III$ द्वारा दिए गए अवकल समीकरण समघातीय अवकल समीकरण हैं।

$f(x, y) = \frac{1}{x + y}$ कितने घात का समघातीय फलन है?

$x \frac{d y}{d x} = y(\log y - \log x + 1)$ का हल ज्ञात कीजिए।

एक वक्र बिंदु $\left( 1, \frac{\pi}{4} \right)$ से होकर गुजरता है और किसी भी बिंदु पर इसका ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \left( \frac{y}{x} \right)$ द्वारा दिया गया है। तो वक्र का समीकरण क्या है?