(2, 3) से गुजरने वाला और अवकल समीकरण intlimit | vedclass

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Question

(D) दिया गया समाकल समीकरण: $\int\limits_0^x {t\,y(t)\,dt} = x^2y(x)$.लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$x\,y(x)

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$xy = 6$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया समाकल समीकरण: $\int\limits_0^x {t\,y(t)\,dt} = x^2y(x)$.लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$x\,y(x) = \frac{d}{dx}(x^2y(x))$$x\,y(x) = x^2y'(x) + 2x\,y(x)$.पदों को व्यवस्थित करने पर:$x^2y'(x) + x\,y(x) = 0$.$x$ से विभाजित करने पर (चूंकि $x > 0$):$x\,y'(x) + y(x) = 0$.यह एक पृथक्करणीय अवकल समीकरण है:$x\frac{dy}{dx} = -y$$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\ln|y| = -\ln|x| + C$$\ln|y| + \ln|x| = C$$\ln|xy| = C$$xy = k$,जहाँ $k = e^C$.चूंकि वक्र $(2, 3)$ से गुजरता है:$(2)(3) = k \implies k = 6$.अतः,वक्र का समीकरण $xy = 6$ है.

$(2, 3)$ से गुजरने वाला और अवकल समीकरण $\int\limits_0^x {t\,y(t)\,dt} = x^2y(x)$ ($x > 0$ के लिए) को संतुष्ट करने वाला वक्र है

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