एक सीढ़ी दीवार के साथ $30^\circ$ के कोण पर टिकी हुई है। एक व्यक्ति $3 \, ft/sec$ की दर से सीढ़ी पर चढ़ रहा है। दीवार की ओर उसके पहुँचने की दर है:

मान लीजिए कि एक प्रकार के बैक्टीरिया फलन $f(t) = t^4$ के अनुसार बढ़ते हैं,जहाँ $t$ सेकंड में दिया गया है। यदि $t_0$ सेकंड के बाद बैक्टीरिया के बढ़ने की दर $4000 \text{ units/second}$ है,तो $t_0 =$

यदि एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन $900 \ cm^3/sec$ की दर से बढ़ रहा है,तो उस क्षण जब त्रिज्या $15 \ cm$ है,गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ($cm/sec$ में) ज्ञात कीजिए।

एक गोलाकार बर्फ का गोला इस प्रकार पिघल रहा है कि उसका आयतन $8 \text{ cm}^3/\text{s}$ की दर से घट रहा है। जब त्रिज्या $2 \text{ cm}$ है, तो त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

एक पात्र उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई $6 \ m$ है और शीर्ष पर त्रिज्या $4 \ m$ है। यदि इसमें $3 \ m^3/min$ की दर से पानी भरा जाता है,तो जब पानी का स्तर $3 \ m$ हो,तब पानी की ऊँचाई के परिवर्तन की दर ($m/min$ में) ज्ञात कीजिए।

एक फर्म $2000$ वस्तुओं का निर्माण कर रही है। यह अनुमान लगाया गया है कि अतिरिक्त श्रमिकों $x$ के सापेक्ष उत्पादन $P$ में परिवर्तन की दर $\frac{dP}{dx} = 100 - 12\sqrt{x}$ द्वारा दी गई है। यदि फर्म $25$ और श्रमिकों को नियुक्त करती है,तो वस्तुओं के उत्पादन का नया स्तर क्या होगा?