$12.75 \; eV$ ઉર્જા ધરાવતો પ્રકાશ તેના ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં રહેલા હાઇડ્રોજન પરમાણુ પર આપાત થાય છે. પરમાણુ આ વિકિરણનું શોષણ કરે છે અને તેના ઉત્તેજિત અવસ્થાઓમાંથી એકમાં પહોંચે છે. ઉત્તેજિત અવસ્થામાં પરમાણુનું કોણીય વેગમાન $\frac{x}{\pi} \times 10^{-17} \; eVs$ છે. $x$ નું મૂલ્ય $........$ છે. ($h=4.14 \times 10^{-15} \; eVs$ નો ઉપયોગ કરો)

બોહરના પરમાણુ મોડેલની સફળતા જણાવો.

હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,ઇલેક્ટ્રોન $0.53 \times 10^{-10} \, m$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં ન્યુક્લિયસની આસપાસ ફરે છે. તો ઇલેક્ટ્રોનના સ્થાન પર ન્યુક્લિયસ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુત સ્થિતિમાન......$V$ છે.

શાસ્ત્રીય રીતે,ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુના ન્યુક્લિયસની આસપાસ કોઈપણ કક્ષામાં હોઈ શકે છે. તો પરમાણુનું લાક્ષણિક કદ શું નક્કી કરે છે? પરમાણુ તેના લાક્ષણિક કદ કરતા હજાર ગણો મોટો કેમ નથી? આ પ્રશ્ને બોહરને તેમના પ્રખ્યાત પરમાણુ મોડેલ પર પહોંચતા પહેલા ખૂબ જ મૂંઝવણમાં મૂક્યા હતા જે તમે પાઠ્યપુસ્તકમાં શીખ્યા છો. તેમની શોધ પહેલાં તેમણે શું કર્યું હશે તેનું અનુકરણ કરવા માટે,ચાલો પ્રકૃતિના મૂળભૂત અચળાંકો સાથે નીચે મુજબ રમીએ અને જોઈએ કે શું આપણને લંબાઈના પરિમાણવાળી એવી રાશિ મળે છે જે પરમાણુના જાણીતા કદ $\left(\sim 10^{-10} \;m \right)$ ની લગભગ સમાન હોય.
$(a)$ મૂળભૂત અચળાંકો $e, m_{e},$ અને $c$ નો ઉપયોગ કરીને લંબાઈના પરિમાણવાળી એક રાશિ બનાવો. તેનું આંકડાકીય મૂલ્ય નક્કી કરો.
$(b)$ તમે જોશો કે $(a)$ માં મેળવેલ લંબાઈ પરમાણુના પરિમાણો કરતા ઘણી ઓછી છે. વધુમાં,તેમાં $c$ નો સમાવેશ થાય છે. પરંતુ પરમાણુઓની ઉર્જા મોટે ભાગે બિન-સાપેક્ષવાદી ક્ષેત્રમાં હોય છે જ્યાં $c$ કોઈ ભૂમિકા ભજવે તેવી અપેક્ષા નથી. આનાથી બોહરને $c$ ને છોડી દેવાનું અને યોગ્ય પરમાણુ કદ મેળવવા માટે 'બીજું કંઈક' શોધવાનું સૂચન મળ્યું હશે. હવે,પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ અન્યત્ર દેખાઈ ચૂક્યો હતો. બોહરની મહાન સમજ એ ઓળખવામાં હતી કે $h, m_{e},$ અને $e$ યોગ્ય પરમાણુ કદ આપશે. $h, m_{e},$ અને $e$ માંથી લંબાઈના પરિમાણવાળી એક રાશિ બનાવો અને ખાતરી કરો કે તેનું આંકડાકીય મૂલ્ય ખરેખર યોગ્ય ક્રમનું છે.

હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શોધો. જો બોહરની ત્રિજ્યા $r_{0} = 5 \times 10^{-11} \, m$ હોય ( $T$ માં).

ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ગતિને કારણે તેની ચુંબકીય મોમેન્ટ (magnetic moment) કોના પ્રમાણમાં હોય છે? (જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.)