एक शून्येतर सदिश a,सदिशों i, i + j द्वारा निर | vedclass

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Question

(A) सदिशों $i$ और $i + j$ को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $n_1 = i 	imes (i + j) = k$ है। इस समतल का समीकरण $r \cdot k = 0$ है,जिसका अर्थ है

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}$ या $\frac{3\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(A) सदिशों $i$ और $i + j$ को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $n_1 = i 	imes (i + j) = k$ है। इस समतल का समीकरण $r \cdot k = 0$ है,जिसका अर्थ है $z = 0.$ सदिशों $i - j$ और $i + k$ को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $n_2 = (i - j) 	imes (i + k) = -i - j + k$ है। इस समतल का समीकरण $r \cdot (-i - j + k) = 0$ है,जिसका अर्थ है $x + y - z = 0.$ सदिश $a$ इन दोनों समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर है,इसलिए $a$ को अभिलंबों $n_1$ और $n_2$ के सदिश गुणनफल के समांतर होना चाहिए: $v = n_1 	imes n_2 = k 	imes (-i - j + k) = i - j.$ अतः,$a$ सदिश $i - j$ के समांतर है। मान लीजिए $a = i - j$ और $b = i - 2j + 2k$ के बीच का कोण $	heta$ है। $\cos 	heta = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} = \frac{(1)(1) + (-1)(-2) + (0)(2)}{\sqrt{1^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$ चूंकि $a$ सदिश $i - j$ या $-(i - j)$ की दिशा में हो सकता है,इसलिए $\cos 	heta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$ अतः,$	heta = \frac{\pi}{4}$ या $	heta = \frac{3\pi}{4}$.

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