दो निष्पक्ष पासों को तब तक उछाला जाता है जब तक कि योग $5$ या $7$ प्राप्त न हो जाए। तो $5$ के $7$ से पहले आने की प्रायिकता क्या है?

$A$,$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से प्रतिस्थापन (with replacement) के साथ दो पत्ते निकालता है और $B$ पासे का एक जोड़ा फेंकता है। इसकी क्या संभावना है कि $A$ को दोनों पत्ते एक ही सूट के मिलें और $B$ का कुल योग $6$ हो?

एक बॉक्स में $1$ से $100$ तक की संख्या वाली $100$ गेंदें हैं। यदि बॉक्स से प्रतिस्थापन के साथ यादृच्छिक रूप से एक के बाद एक $3$ गेंदें चुनी जाती हैं,तो चुनी गई गेंदों पर तीन संख्याओं का योग एक विषम संख्या होने की प्रायिकता क्या है?

$\left\{1, 2, 2, 3, 3, 3\right\}$ अंकों वाले एक पासे को तीन बार फेंका जाता है। पासे के फलकों पर आने वाली संख्याओं का योग $6$ होने की प्रायिकता क्या है?

एक जहाज में तीन इंजन $E_1, E_2$ और $E_3$ लगे हैं। इंजन एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से क्रमशः $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ और $\frac{1}{4}$ की प्रायिकता के साथ कार्य करते हैं। जहाज के चालू रहने के लिए,इसके कम से कम दो इंजनों का कार्य करना आवश्यक है। मान लीजिए $X$ उस घटना को दर्शाता है कि जहाज चालू है और $X_1, X_2$ और $X_3$ क्रमशः उन घटनाओं को दर्शाते हैं कि इंजन $E_1, E_2$ और $E_3$ कार्य कर रहे हैं। निम्नलिखित में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?
$(A) P(X_1^c \mid X) = \frac{3}{16}$
$(B) P(\text{ठीक दो इंजन कार्य कर रहे हैं} \mid X) = \frac{7}{8}$
$(C) P(X \mid X_2) = \frac{5}{16}$
$(D) P(X \mid X_1) = \frac{7}{16}$

$P$ $70\%$ मामलों में सच बोलता है और $Q$ $80\%$ मामलों में सच बोलता है। वे कितने प्रतिशत मामलों में एक ही तथ्य बताने के लिए सहमत होने की संभावना रखते हैं ($\%$ में)?