एक व्यक्ति एक परीक्षा देता है जिसमें चार पेपर | vedclass

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Question

(C) $4$ पेपरों में कुल $2m$ अंक प्राप्त करने के तरीकों की संख्या,जहाँ प्रत्येक पेपर में अधिकतम $m$ अंक हैं,$(x^0 + x^1 + \dots + x^m)^4$ के विस्तार मे

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$\frac{1}{3}(m + 1)(2m^2 + 4m + 3)$

Vedclass · Answer

(C) $4$ पेपरों में कुल $2m$ अंक प्राप्त करने के तरीकों की संख्या,जहाँ प्रत्येक पेपर में अधिकतम $m$ अंक हैं,$(x^0 + x^1 + \dots + x^m)^4$ के विस्तार में $x^{2m}$ का गुणांक है।यह $\left( \frac{1 - x^{m+1}}{1 - x} ight)^4 = (1 - x^{m+1})^4 (1 - x)^{-4}$ में $x^{2m}$ के गुणांक के बराबर है।इसका विस्तार करने पर,हमें $(1 - 4x^{m+1} + 6x^{2m+2} - \dots) 	imes \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+3}{3} x^r$ प्राप्त होता है।$x^{2m}$ का गुणांक $1 	imes \binom{2m+3}{3}$ और $-4x^{m+1} 	imes \binom{m+2}{3}$ पदों को लेने से प्राप्त होता है।तरीकों की संख्या = $\binom{2m+3}{3} - 4 \binom{m+2}{3} = \frac{(2m+3)(2m+2)(2m+1)}{6} - 4 \frac{(m+2)(m+1)m}{6}$.इस व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{(m+1)}{6} [ (2m+3)(2)(2m+1) - 4m(m+2) ] = \frac{(m+1)(2m^2+4m+3)}{3}$ प्राप्त होता है।

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