$z-$ દિશામાં ગતિ કરતા સમતલ $EM$ તરંગને $\vec E = E_0 \sin(kz - \omega t)\hat i$ અને $\vec B = B_0 \sin(kz - \omega t)\hat j$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. સાબિત કરો કે:
$(i)$ તરંગની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $U_{av} = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 + \frac{1}{4} \frac{B_0^2}{\mu_0}$ છે.
$(ii)$ તરંગની સમય-સરેરાશ તીવ્રતા $I_{av} = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$ છે.

(N/A) $(i)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સાથે સંકળાયેલ ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સાથે સંકળાયેલ ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ છે.
કુલ તત્કાલીન ઉર્જા ઘનતા $u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ છે.
સમતલ તરંગ માટે,$E = E_0 \sin(kz - \omega t)$ અને $B = B_0 \sin(kz - \omega t)$ છે.
એક ચક્ર પર $\sin^2(kz - \omega t)$ ની સમય સરેરાશ $\frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$\langle E^2 \rangle = \frac{E_0^2}{2}$ અને $\langle B^2 \rangle = \frac{B_0^2}{2}$ થાય.
આ કિંમતોને સરેરાશ ઉર્જા ઘનતાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$U_{av} = \langle u_E \rangle + \langle u_B \rangle = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{E_0^2}{2} \right) + \frac{1}{2 \mu_0} \left( \frac{B_0^2}{2} \right) = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 + \frac{1}{4} \frac{B_0^2}{\mu_0}$.
$(ii)$ $E_0 = c B_0$ હોવાથી,$B_0 = \frac{E_0}{c}$ મળે. વળી,$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$ હોવાથી,$\frac{1}{\mu_0} = c^2 \epsilon_0$ થાય.
ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં $B_0$ અને $\frac{1}{\mu_0}$ ની કિંમત મૂકતા:
$U_{av} = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 + \frac{1}{4} (c^2 \epsilon_0) \left( \frac{E_0}{c} \right)^2 = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 + \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2$.
તીવ્રતા $I_{av}$ એ એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતી ઉર્જા છે,જે $I_{av} = U_{av} \cdot c$ દ્વારા અપાય છે.
તેથી,$I_{av} = \left( \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 \right) c = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$.