ત્રિકોણના કર્ણ પરનું એક બિંદુ ત્રિકોણની બાજુઓથી $a$ અને $b$ અંતરે છે. સાબિત કરો કે કર્ણની ન્યૂનતમ લંબાઈ $(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$ છે.

(N/A) ધારો કે $\triangle ABC$ એ $B$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો ત્રિકોણ છે. ધારો કે $P$ એ કર્ણ $AC$ પરનું એક બિંદુ છે જેથી $P$ નું $AB$ થી અંતર $a$ અને $BC$ થી અંતર $b$ છે.
ધારો કે $\angle C = \theta$. તો $\angle A = 90^{\circ} - \theta$.
$P$ માંથી $BC$ પરના લંબ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$PC = \frac{b}{\sin \theta} = b \csc \theta$ મળે.
$P$ માંથી $AB$ પરના લંબ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$AP = \frac{a}{\cos \theta} = a \sec \theta$ મળે.
કર્ણની લંબાઈ $L = AC = AP + PC = a \sec \theta + b \csc \theta$.
ન્યૂનતમ લંબાઈ શોધવા માટે,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં $L$ નું વિકલન કરીએ:
$\frac{dL}{d\theta} = a \sec \theta \tan \theta - b \csc \theta \cot \theta$.
$\frac{dL}{d\theta} = 0$ લેતા,આપણને $a \sec \theta \tan \theta = b \csc \theta \cot \theta$ મળે.
$\frac{a \sin \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{b \cos \theta}{\sin^2 \theta} \Rightarrow \tan^3 \theta = \frac{b}{a} \Rightarrow \tan \theta = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{3}}$.
આ કિંમત માટે,$\sin \theta = \frac{b^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}$ અને $\cos \theta = \frac{a^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}$.
આ કિંમતોને $L = a \sec \theta + b \csc \theta$ માં મૂકતા:
$L = a \frac{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}}} + b \frac{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}$.
$L = (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$.
આમ,કર્ણની ન્યૂનતમ લંબાઈ $(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$ છે.