$15 \ cm$ લંબાઈનો એક સળિયો $AB$ બે યામ અક્ષોની વચ્ચે એવી રીતે રાખેલ છે કે જેથી અંત્યબિંદુ $A$ એ $x-$અક્ષ પર અને અંત્યબિંદુ $B$ એ $y-$અક્ષ પર હોય. સળિયા પર એક બિંદુ $P(x, y)$ એવી રીતે લેવામાં આવે છે કે જેથી $AP = 6 \ cm$ થાય. સાબિત કરો કે $P$ નો બિંદુપથ એક ઉપવલય (ellipse) છે.

(N/A) ધારો કે $AB$ એ સળિયો છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $x-$અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. ધારો કે $P(x, y)$ એ સળિયા પરનું બિંદુ છે જેથી $AP = 6 \ cm$.
$AB = 15 \ cm$ હોવાથી,આપણી પાસે $PB = AB - AP = 15 - 6 = 9 \ cm$ છે.
$P$ માંથી $y-$અક્ષ અને $x-$અક્ષ પર અનુક્રમે $PQ$ અને $PR$ લંબ દોરો.
$\Delta PBQ$ માં,$\cos \theta = \frac{PQ}{PB} = \frac{x}{9}$,તેથી $x = 9 \cos \theta$.
$\Delta PRA$ માં,$\sin \theta = \frac{PR}{AP} = \frac{y}{6}$,તેથી $y = 6 \sin \theta$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\cos \theta = \frac{x}{9}$ અને $\sin \theta = \frac{y}{6}$ મૂકતા:
$(\frac{x}{9})^2 + (\frac{y}{6})^2 = 1$
$\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{36} = 1$.
આ એક ઉપવલયનું સમીકરણ છે. આમ,$P$ નો બિંદુપથ એક ઉપવલય છે.