એક ગણમાં 2n + 1 ઘટકો છે. આ ગણના n કરતા વધારે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે ગણ $S$ માં $N = 2n + 1$ ઘટકો છે.આપણે એવા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવાની છે જેમાં $n$ કરતા વધારે ઘટકો હોય,એટલે કે $(n + 1), (n + 2), \dots, (2n + 1

Vedclass · Accepted Answer

$2^{2n}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે ગણ $S$ માં $N = 2n + 1$ ઘટકો છે.આપણે એવા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવાની છે જેમાં $n$ કરતા વધારે ઘટકો હોય,એટલે કે $(n + 1), (n + 2), \dots, (2n + 1)$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણો.આવા ઉપગણોની સંખ્યાનો સરવાળો: $S = \binom{2n+1}{n+1} + \binom{2n+1}{n+2} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1}$.દ્વિપદી સહગુણકોના ગુણધર્મ $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદોને ફરીથી લખી શકીએ:$\binom{2n+1}{n+1} = \binom{2n+1}{n}$,$\binom{2n+1}{n+2} = \binom{2n+1}{n-1}$,વગેરે.આમ,$S = \binom{2n+1}{n} + \binom{2n+1}{n-1} + \dots + \binom{2n+1}{0}$.આપણે જાણીએ છીએ કે $m$ કદના ગણ માટે તમામ દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $2^m$ થાય છે,એટલે કે $\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = 2^m$.$m = 2n + 1$ માટે,કુલ સરવાળો $\sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2^{2n+1}$ છે.કારણ કે $\binom{2n+1}{k} = \binom{2n+1}{2n+1-k}$,સહગુણકોના પ્રથમ અડધા ભાગનો સરવાળો બીજા અડધા ભાગના સરવાળા જેટલો જ હોય છે.તેથી,$S = \frac{1}{2} 	imes 2^{2n+1} = 2^{2n}$.

એક ગણમાં $2n + 1$ ઘટકો છે. આ ગણના $n$ કરતા વધારે ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા કેટલી થાય?

Similar Questions

જો $A$ અને $B$ બે એવા ગણ હોય કે જેમાં $A$ માં $40$ ઘટકો છે,$A \cup B$ માં $60$ ઘટકો છે અને $A \cap B$ માં $10$ ઘટકો છે,તો $B$ માં કેટલા ઘટકો હશે?

નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય છે?

જો $n(A) = 4$,$n(B) = 3$,અને $n(A \times B \times C) = 24$ હોય,તો $n(C) = $

$f(x) = \frac{x^2 + 34x - 71}{x^2 + 2x - 7}$ નો વિસ્તાર (range) શોધો.

નીચેનામાંથી કયો ગણ શાંત (finite) છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module