$0.8\,\mu Ci$ ની એક્ટિવિટી અને ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ધરાવતું સક્રિય કોબાલ્ટ ${}_{27}^{60}Co$ નું દ્રાવણ પ્રાણીના શરીરમાં ઇન્જેક્ટ કરવામાં આવે છે. જો ઇન્જેક્શનના $10\,hrs$ પછી પ્રાણીના શરીરમાંથી $1\,cm^3$ લોહી લેવામાં આવે,તો તેમાં જોવા મળતી એક્ટિવિટી $300\,decays$ પ્રતિ મિનિટ છે. પ્રાણીના શરીરમાં વહેતા લોહીનું કુલ કદ કેટલા લિટર હશે? (આપેલ છે: $1\,Ci = 3.7 \times 10^{10}$ decays પ્રતિ સેકન્ડ અને $t = 10\,hrs$ સમયે $e^{-\lambda t} = 0.84$)

જો તમામ સ્વતંત્ર રાશિઓમાં માપન ક્ષતિઓ જાણીતી હોય,તો કોઈપણ આશ્રિત રાશિમાં ક્ષતિ નક્કી કરવી શક્ય છે. આ શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને અને ક્ષતિના પ્રથમ ઘાત પર વિસ્તરણને કાપીને કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,સંબંધ $z = x / y$ ધ્યાનમાં લો. જો $x, y$ અને $z$ માં ક્ષતિઓ અનુક્રમે $\Delta x, \Delta y$ અને $\Delta z$ હોય,તો $z \pm \Delta z = \frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y} = \frac{x}{y} (1 \pm \frac{\Delta x}{x}) (1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$. $(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$ માટે શ્રેણી વિસ્તરણ,$\Delta y / y$ માં પ્રથમ ઘાત સુધી,$1 \mp (\Delta y / y)$ છે. સ્વતંત્ર ચલોમાં સાપેક્ષ ક્ષતિઓ હંમેશા ઉમેરવામાં આવે છે. તેથી $z$ માં ક્ષતિ $\Delta z = z (\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y})$ હશે. ઉપરોક્ત તારણ એવી ધારણા કરે છે કે $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$. તેથી,આ રાશિઓની ઉચ્ચ ઘાતને અવગણવામાં આવે છે.
$(1)$ ગુણોત્તર $r = \frac{(1 - a)}{(1 + a)}$ ધ્યાનમાં લો જે પરિમાણરહિત રાશિ $a$ માપીને નક્કી કરવામાં આવે છે. જો $a$ ના માપનમાં ક્ષતિ $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ હોય,તો ક્ષતિ $\Delta r$ શું છે?
$(2)$ એક પ્રયોગમાં,રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $3000$ છે. એવું જોવા મળ્યું છે કે પ્રથમ $1.0 \ s$ માં $1000 \pm 40$ ન્યુક્લિયસ ક્ષય પામ્યા છે. $|x| < 1$ માટે,$\ln(1 + x) = x$ એ $x$ માં પ્રથમ ઘાત સુધી છે. ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ના નિર્ધારણમાં ક્ષતિ $\Delta \lambda$ ($s^{-1}$ માં) કેટલી છે?

રેડિયો એક્ટિવ નમૂનાનું અર્ધ આયુષ્ય $T$ છે. $T/2$ સમય બાદ પદાર્થનો કેટલો અંશ બાકી રહેશે?

એક રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસ $A$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $\tau_A$ છે અને તેમાં માત્ર એક જ ક્ષય મોડ છે. બીજા એક રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસ $B$ માં બે ક્ષય મોડ $1$ અને $2$ છે. જો ક્ષય મોડ $2$ ગેરહાજર હોય,તો $B$ નું અર્ધ-આયુષ્ય $\tau_A / 2$ થાય. જો ક્ષય મોડ $1$ ગેરહાજર હોય,તો $B$ નું અર્ધ-આયુષ્ય $3 \tau_A$ થાય. જો $B$ નું વાસ્તવિક અર્ધ-આયુષ્ય $\tau_B$ હોય,તો ગુણોત્તર $\tau_B / \tau_A$ શોધો.

એક રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $48$ કલાક છે. તે તેના $\frac{1}{16}$ ભાગમાં વિઘટિત થવા માટે કેટલો સમય લેશે?

બે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થો $M_1$ અને $M_2$ ના ક્ષય અચળાંકો અનુક્રમે $9 \lambda$ અને $\lambda$ છે. શરૂઆતમાં તેમની પાસે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા સમાન છે. કેટલા સમયના અંતરાલ પછી $M_1$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા અને $M_2$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{1}{e}$ થશે?