एक अंतरिक्ष यान जो पृथ्वी के सापेक्ष $x$-दिशा में $u$ की गति से चल रहा है,एक बहुत अधिक विशाल ग्रह के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में प्रवेश करता है जो ऋणात्मक $x$-दिशा में $3u$ की गति से चल रहा है। अंतरिक्ष यान नीचे दिखाए गए प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करते हुए बाहर निकलता है। ग्रह के गुरुत्वाकर्षण से बाहर निकलने के काफी समय बाद पृथ्वी के सापेक्ष अंतरिक्ष यान की गति क्या होगी?

कथन $(A)$ एक ही वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा कर रहे दो कृत्रिम उपग्रहों का परिक्रमण काल समान होता है।
कथन $(B)$ कक्षीय वेग कक्षा की त्रिज्या के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
कथन $(C)$ किसी पिंड का पलायन वेग प्रक्षेपण बिंदु की ऊँचाई से स्वतंत्र होता है।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य:
$(a)$ पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर जाने पर गुरुत्वीय त्वरण का मान बढ़ता है।
$(b)$ यदि पृथ्वी की सतह पर $m$ द्रव्यमान की वस्तु के लिए पलायन वेग $11.2 \, km/s$ है,तो $2m$ द्रव्यमान की वस्तु के लिए पलायन वेग $22.4 \, km/s$ होगा।
$(c)$ यदि पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण अचानक गायब हो जाए,तो वस्तु का द्रव्यमान शून्य हो जाता है,लेकिन उसका भार समान रहता है।

$2M$ द्रव्यमान और $6R$ त्रिज्या वाला एक अर्धगोलाकार कवच और $M$ द्रव्यमान का एक बिंदु द्रव्यमान अपने पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण बल के कारण वृत्ताकार गति कर रहे हैं। गति के दौरान किसी भी क्षण उनकी स्थिति चित्र में दिखाई गई है। यदि $r_1$ और $r_2$ क्रमशः अर्धगोलाकार कवच और बिंदु द्रव्यमान के वृत्ताकार पथ की त्रिज्याएँ हैं और $\omega_1$ और $\omega_2$ क्रमशः अर्धगोलाकार कवच और बिंदु द्रव्यमान की कोणीय गति हैं,तो सही विकल्प चुनें।

$m$ द्रव्यमान का एक उपग्रह $M$ द्रव्यमान के एक तारे से $a$ दूरी पर है। उपग्रह की गति $u$ है। मान लीजिए कि सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम $F = -G \frac{Mm}{r^2}$ के बजाय $F = -G \frac{Mm}{r^{2.1}}$ है। जब उपग्रह तारे से $b$ दूरी पर हो,तो उसकी गति ज्ञात कीजिए।

यदि पृथ्वी का द्रव्यमान स्थिर रहे और इसकी त्रिज्या को इसके मूल मान के $\frac{1}{n}$ भाग तक कम कर दिया जाए,तो $1$ दिन की अवधि क्या होगी?