एक वर्ग वृत्त $x^2 + y^2 - 6x + 8y - 103 = 0$ में अंतर्निहित है,जिसकी भुजाएँ निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं। तो मूल बिंदु के सबसे निकट स्थित वर्ग के शीर्ष की दूरी क्या है?

$O$ केंद्र वाले एक वृत्त में,मान लीजिए $A, P, B$ इसकी परिधि पर तीन बिंदु इस प्रकार हैं कि $P$ लघु चाप $AB$ का मध्य-बिंदु है। मान लीजिए जब $\angle AOB = \theta$ है,तब $\frac{\text{area}(\triangle AOB)}{\text{area}(\triangle APB)} = \sqrt{5} + 2$ है। यदि $\angle AOB$ को दोगुना करके $2\theta$ कर दिया जाए,तो अनुपात $\frac{\text{area}(\triangle AOB)}{\text{area}(\triangle APB)}$ क्या होगा?

स्तंभ $I$ में दिए गए कथनों को स्तंभ $II$ के गुणों के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ दो प्रतिच्छेदी वृत्त	$(p)$ एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा रखते हैं
$(B)$ दो परस्पर बाह्य वृत्त	$(q)$ एक उभयनिष्ठ अभिलंब रखते हैं
$(C)$ दो वृत्त,एक दूसरे के अंदर	$(r)$ कोई उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा नहीं रखते हैं
$(D)$ अतिपरवलय की दो शाखाएँ	$(s)$ कोई उभयनिष्ठ अभिलंब नहीं रखते हैं

रेखा $x+y+1=0$ वृत्त $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ को बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। यदि $M(a, b)$ जीवा $AB$ का मध्य-बिंदु है,तो $a-b=$

यदि $P$ वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ पर एक बिंदु है, $Q$ सरल रेखा $5x+y+2=0$ पर एक बिंदु है और $x-y+1=0$ रेखा $PQ$ का लंब समद्विभाजक है, तो ऐसे सभी बिंदुओं $P$ के भुज (abscissae) के योग का $13$ गुना ........... है।

यदि वृत्तों $x^2+y^2-2x-4y+c=0$ और $x^2+y^2-4x-2y+4=0$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,तो $c=$