एक छात्र को परीक्षा में $13$ में से $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,इस प्रकार कि उसे पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ प्रश्न चुनने होंगे। उसके पास उपलब्ध विकल्पों की संख्या है

$PALANHAR$ शब्द के अक्षरों के उन विन्यासों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें कोई भी दो स्वर एक साथ न हों और ठीक दो स्वर विषम स्थानों पर हों।

एक निश्चित परीक्षा में,${a_i}$ छात्रों ने कम से कम $i$ प्रश्नों के गलत उत्तर दिए,जहाँ $i = 1, 2, 3, ..., k$ है। किसी भी छात्र ने $k$ से अधिक गलत उत्तर नहीं दिए। दिए गए गलत उत्तरों की कुल संख्या है:

$INSURANCE$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं,यदि सभी स्वर हमेशा एक साथ आएं?

कुल $7$ पुरुषों और $3$ महिलाओं में से $5$ पुरुषों और $2$ महिलाओं का एक समूह कितनी तरह से बनाया जा सकता है?

एक पुरुष $X$ के $7$ मित्र हैं,जिनमें से $4$ महिलाएँ हैं और $3$ पुरुष हैं। उसकी पत्नी $Y$ के भी $7$ मित्र हैं,जिनमें से $3$ महिलाएँ हैं और $4$ पुरुष हैं। मान लीजिए कि $X$ और $Y$ का कोई भी मित्र सामान्य नहीं है। तो कुल कितने तरीकों से $X$ और $Y$ मिलकर एक पार्टी दे सकते हैं जिसमें $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को आमंत्रित किया जाए,ताकि $X$ और $Y$ में से प्रत्येक के $3$ मित्र इस पार्टी में हों?