$\theta \in (0, \pi /3)$ का एक मान,जिसके लिए $\left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ \cos^2 \theta & 1 + \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 1 + 4 \cos 6\theta \end{array} \right| = 0$ है,वह है

यदि $a, b, c$ धनात्मक पूर्णांक हैं,तो सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a^2 + x & ab & ac \\ ab & b^2 + x & bc \\ ac & bc & c^2 + x \end{vmatrix}$ किससे विभाज्य है?

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(a)$ यदि किसी सारणिक की कोई दो पंक्तियाँ या स्तंभ समान हैं,तो सारणिक का मान शून्य होता है।
$(b)$ यदि किसी सारणिक की संगत पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदल दिया जाए,तो सारणिक का मान नहीं बदलता है।
$(c)$ यदि किसी सारणिक की किन्हीं दो पंक्तियों (या स्तंभों) को आपस में बदल दिया जाए,तो सारणिक का मान चिह्न में बदल जाता है।
इनमें से कौन से सही हैं?

यदि $\Delta _1 = \left| \begin{matrix} b^5c^6(c^3 - b^3) & a^4c^6(a^3 - c^3) & a^4b^5(b^3 - a^3) \\ b^2c^3(b^6 - c^6) & ac^3(c^6 - a^6) & ab^2(a^6 - b^6) \\ b^2c^3(c^3 - b^3) & ac^3(a^3 - c^3) & ab^2(b^3 - a^3) \end{matrix} \right|$ और $\Delta _2 = \left| \begin{matrix} a & b^2 & c^3 \\ a^4 & b^5 & c^6 \\ a^7 & b^8 & c^9 \end{matrix} \right|$ है,तो $\Delta _1 \Delta _2$ का मान ज्ञात कीजिए।

सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ b+c & c+a & a+b \\ b+c-a & c+a-b & a+b-c \end{array} \right|$ का मान है

यदि $\left|\begin{array}{ccc}a+b+2c & a & b \\ c & 2a+b+c & b \\ c & a & a+2b+c\end{array}\right|=2$ है,तो $a^3+b^3+c^3-3abc=$