यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,दिए गए धना | vedclass

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Question

(A) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि $a

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$0 \leq r < b$

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(A) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि $a = bq + r,$ जहाँ शेषफल $r$ को शर्त $0 \leq r < b$ को संतुष्ट करना चाहिए। इसका अर्थ है कि शेषफल $r$ का मान $0$ के बराबर या उससे बड़ा और भाजक $b$ से छोटा होता है। अतः,सही शर्त $0 \leq r < b$ है।

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लिखिए कि क्या प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $4q + 2$ के रूप का हो सकता है,जहाँ $q$ एक पूर्णांक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $240$ और $6552$ का $g.c.d.$ (म.स.प.) ज्ञात कीजिए।

यदि $n$ एक विषम पूर्णांक है,तो $n^{2}-1$ ........... से विभाज्य है।

सिद्ध कीजिए कि,यदि कोई धनात्मक पूर्णांक $6m + 5$ के रूप में है,तो वह $3n + 2$ के रूप में भी होता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।

दर्शाइए कि किसी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्ण संख्या $m$ के लिए $8m+1$ के रूप का होता है।

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