निश्चित परिधि वाले सभी त्रिज्यखंडों में से,अध | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए कि त्रिज्यखंड की त्रिज्या $r$ है और केंद्र पर त्रिज्याओं द्वारा अंतरित कोण $	heta$ (रेडियन में) है।चाप की लंबाई $l = r	heta$ है।त्रिज्

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$2$

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(D) मान लीजिए कि त्रिज्यखंड की त्रिज्या $r$ है और केंद्र पर त्रिज्याओं द्वारा अंतरित कोण $	heta$ (रेडियन में) है।चाप की लंबाई $l = r	heta$ है।त्रिज्यखंड की परिधि $P = 2r + l = 2r + r	heta = r(2 + 	heta)$ है।इससे,हम त्रिज्या को $r = \frac{P}{2 + 	heta}$ के रूप में लिख सकते हैं।त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}r^2	heta$ है।$P$ और $	heta$ के पदों में $r$ का मान रखने पर:$A = \frac{1}{2} \left(\frac{P}{2 + 	heta}ight)^2 	heta = \frac{P^2}{2} \cdot \frac{	heta}{(2 + 	heta)^2}$.अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $	heta$ के सापेक्ष $A$ का अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:$\frac{dA}{d	heta} = \frac{P^2}{2} \cdot \frac{(2 + 	heta)^2(1) - 	heta(2)(2 + 	heta)}{(2 + 	heta)^4} = 0$.इसे सरल करने पर:$(2 + 	heta)^2 - 2	heta(2 + 	heta) = 0$.$(2 + 	heta)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:$(2 + 	heta)(2 + 	heta - 2	heta) = 0$.$(2 + 	heta)(2 - 	heta) = 0$.चूंकि $	heta > 0$,इसलिए $	heta = 2$ रेडियन प्राप्त होता है।अतः,अधिकतम क्षेत्रफल के लिए केंद्र पर बना कोण $2$ रेडियन है।

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