एक हवाई जहाज $1960 \, m$ की ऊँचाई पर $600 \, km/h$ के वेग से क्षैतिज रूप से उड़ रहा है। जब यह जमीन पर एक बिंदु $A$ के ठीक ऊपर होता है,तो इससे एक बम गिराया जाता है। बम जमीन पर बिंदु $B$ पर टकराता है। दूरी $AB$ है

एक फिल्म के क्लाइमेक्स में,हीरो हेलीकॉप्टर से कूदता है और हीरो का पीछा कर रहा विलेन भी उसी समय उसी स्तर से कूदता है। कुछ समय बाद जब वे समान क्षैतिज स्तर पर होते हैं,तो विलेन हीरो की ओर क्षैतिज रूप से गोली चलाता है। पैराशूट के कारण दोनों $2\ m/s^2$ के निरंतर त्वरण के साथ नीचे गिर रहे हैं। यह मानते हुए कि हीरो गोली की सीमा के भीतर है और गोली पर हवा का प्रतिरोध नगण्य है,निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

नीचे दो कथन दिए गए हैं: एक को अभिकथन $A$ और दूसरे को कारण $R$ के रूप में लेबल किया गया है।
अभिकथन $A$: जब किसी पिंड को $45^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है,तो उसकी परास (range) अधिकतम होती है।
कारण $R$: अधिकतम परास के लिए,$\sin 2\theta$ का मान एक के बराबर होना चाहिए।
उपर्युक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

एक पिंड को जमीन से $v = (3 \hat{i} + 10 \hat{j}) \text{ m/s}$ के वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। पिंड द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई और परास (Range) क्रमशः हैं ($g = 10 \text{ m/s}^2$ दिया गया है):

एक कण जब प्रारंभिक गति के साथ प्रक्षेपित किया जाता है तो $50\, m$ की दूरी तय करता है। उसी सतह पर,जब इसे दोगुनी प्रारंभिक गति के साथ प्रक्षेपित किया जाएगा तो यह ......... $m$ की दूरी तय करेगा।

एक गेंद को $45^\circ$ के कोण पर $E$ गतिज ऊर्जा के साथ प्रक्षेपित किया जाता है। अपनी उड़ान के दौरान उच्चतम बिंदु पर,इसकी गतिज ऊर्जा होगी