પરમાણુના એક પ્રારંભિક મોડેલમાં તેને $Ze$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ધન વિદ્યુતભારીત બિંદુવત ન્યુક્લિયસ તરીકે ગણવામાં આવે છે,જે $R$ ત્રિજ્યા સુધી ઋણ વિદ્યુતભારની સમાન ઘનતાથી ઘેરાયેલું છે. સમગ્ર પરમાણુ તટસ્થ છે. આ મોડેલ માટે,ન્યુક્લિયસથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું હશે?
(N/A) ઉકેલ:
આ પરમાણુ મોડેલ માટે વિદ્યુતભારનું વિતરણ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે. $R$ ત્રિજ્યાના સમાન ગોલીય વિદ્યુતભાર વિતરણમાં કુલ ઋણ વિદ્યુતભાર $-Ze$ હોવો જોઈએ,કારણ કે પરમાણુ (ન્યુક્લિયસનો વિદ્યુતભાર $Ze$ + ઋણ વિદ્યુતભાર) તટસ્થ છે. આના પરથી આપણને ઋણ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ મળે છે,કારણ કે:
$\frac{4}{3} \pi R^{3} \rho = -Ze$
$\rho = -\frac{3Ze}{4 \pi R^{3}}$
ન્યુક્લિયસથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E(r)$ શોધવા માટે,આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. વિદ્યુતભાર વિતરણની ગોલીય સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E(r)$ નું મૂલ્ય માત્ર ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે. તેની દિશા ઉગમબિંદુથી બિંદુ $P$ તરફના ત્રિજ્યા સદિશની દિશામાં હોય છે. ગૌસિયન સપાટી એ ન્યુક્લિયસ પર કેન્દ્રિત ગોલીય સપાટી છે. આપણે બે પરિસ્થિતિઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $r < R$ અને $r > R$.
$(i)$ $r < R$: ગોલીય સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = E(r) \times 4 \pi r^{2}$ છે. ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q$ એ ધન ન્યુક્લિયર વિદ્યુતભાર અને $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાની અંદરનો ઋણ વિદ્યુતભાર છે,એટલે કે $q = Ze + \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho$. વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $q = Ze - Ze \frac{r^{3}}{R^{3}}$ મળે છે. ગૌસના નિયમ મુજબ $E(r) \times 4 \pi r^{2} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$,તેથી $E(r) = \frac{Ze}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{1}{r^{2}} - \frac{r}{R^{3}} \right)$. વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી બહારની દિશામાં હોય છે.
$(ii)$ $r > R$: આ કિસ્સામાં,ગૌસિયન ગોલીય સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે કારણ કે પરમાણુ તટસ્થ છે. તેથી,ગૌસના નિયમ મુજબ,$E(r) \times 4 \pi r^{2} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $r > R$ માટે $E(r) = 0$.
આ પરમાણુ મોડેલ માટે વિદ્યુતભારનું વિતરણ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે. $R$ ત્રિજ્યાના સમાન ગોલીય વિદ્યુતભાર વિતરણમાં કુલ ઋણ વિદ્યુતભાર $-Ze$ હોવો જોઈએ,કારણ કે પરમાણુ (ન્યુક્લિયસનો વિદ્યુતભાર $Ze$ + ઋણ વિદ્યુતભાર) તટસ્થ છે. આના પરથી આપણને ઋણ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ મળે છે,કારણ કે:
$\frac{4}{3} \pi R^{3} \rho = -Ze$
$\rho = -\frac{3Ze}{4 \pi R^{3}}$
ન્યુક્લિયસથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E(r)$ શોધવા માટે,આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. વિદ્યુતભાર વિતરણની ગોલીય સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E(r)$ નું મૂલ્ય માત્ર ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે. તેની દિશા ઉગમબિંદુથી બિંદુ $P$ તરફના ત્રિજ્યા સદિશની દિશામાં હોય છે. ગૌસિયન સપાટી એ ન્યુક્લિયસ પર કેન્દ્રિત ગોલીય સપાટી છે. આપણે બે પરિસ્થિતિઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $r < R$ અને $r > R$.
$(i)$ $r < R$: ગોલીય સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = E(r) \times 4 \pi r^{2}$ છે. ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q$ એ ધન ન્યુક્લિયર વિદ્યુતભાર અને $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાની અંદરનો ઋણ વિદ્યુતભાર છે,એટલે કે $q = Ze + \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho$. વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $q = Ze - Ze \frac{r^{3}}{R^{3}}$ મળે છે. ગૌસના નિયમ મુજબ $E(r) \times 4 \pi r^{2} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$,તેથી $E(r) = \frac{Ze}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{1}{r^{2}} - \frac{r}{R^{3}} \right)$. વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી બહારની દિશામાં હોય છે.
$(ii)$ $r > R$: આ કિસ્સામાં,ગૌસિયન ગોલીય સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે કારણ કે પરમાણુ તટસ્થ છે. તેથી,ગૌસના નિયમ મુજબ,$E(r) \times 4 \pi r^{2} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $r > R$ માટે $E(r) = 0$.
Explore More
Similar Questions
$2 L \times 2 L \times L$ પરિમાણ ધરાવતા લંબઘનમાં,$4 L^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી સપાટી '$S$' ના કેન્દ્ર પર $q$ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવે છે. '$S$' ની વિરુદ્ધ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ કેટલું હશે?
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,એક લંબઘન $E = 2x^2 \hat{i} - 4y \hat{j} + 6 \hat{k} \; N/C$ વિદ્યુતક્ષેત્ર ધરાવતા વિસ્તારમાં મૂકેલ છે. લંબઘનની અંદર રહેલા વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $n \varepsilon_0 \; C$ છે. $n$ નું મૂલ્ય $............$ છે (જો લંબઘનના પરિમાણો $1 \times 2 \times 3 \; m^3$ હોય)
ન્યુક્લિયર ચાર્જ $(Ze)$ એ $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ન્યુક્લિયસમાં અસમાન રીતે વિતરિત થયેલ છે. ચાર્જ ઘનતા $\rho(r)$ (એકમ કદ દીઠ ચાર્જ) માત્ર ન્યુક્લિયસના કેન્દ્રથી ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં છે.
$1.$ $r=R$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર એ
$(A)$ $a$ થી સ્વતંત્ર છે
$(B)$ $a$ ના સમપ્રમાણમાં છે
$(C)$ $a^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે
$(D)$ $a$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે
$2.$ $a=0$ માટે,$d$ નું મૂલ્ય (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $\rho$ નું મહત્તમ મૂલ્ય) છે
$(A)$ $\frac{3Ze}{4\pi R^3}$ $(B)$ $\frac{3Ze}{\pi R^3}$ $(C)$ $\frac{4Ze}{3\pi R^3}$ $(D)$ $\frac{Ze}{3\pi R^3}$
$3.$ ન્યુક્લિયસની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર સામાન્ય રીતે $r$ પર રેખીય રીતે આધારિત જોવા મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે
$(A)$ $a=0$ $(B)$ $a=\frac{R}{2}$ $(C)$ $a=R$ $(D)$ $a=\frac{2R}{3}$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
$1.$ $r=R$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર એ
$(A)$ $a$ થી સ્વતંત્ર છે
$(B)$ $a$ ના સમપ્રમાણમાં છે
$(C)$ $a^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે
$(D)$ $a$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે
$2.$ $a=0$ માટે,$d$ નું મૂલ્ય (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $\rho$ નું મહત્તમ મૂલ્ય) છે
$(A)$ $\frac{3Ze}{4\pi R^3}$ $(B)$ $\frac{3Ze}{\pi R^3}$ $(C)$ $\frac{4Ze}{3\pi R^3}$ $(D)$ $\frac{Ze}{3\pi R^3}$
$3.$ ન્યુક્લિયસની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર સામાન્ય રીતે $r$ પર રેખીય રીતે આધારિત જોવા મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે
$(A)$ $a=0$ $(B)$ $a=\frac{R}{2}$ $(C)$ $a=R$ $(D)$ $a=\frac{2R}{3}$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
એક સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ધાતુના ગોળાકાર કવચની સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E$ છે. જો અવાહક સાધનનો ઉપયોગ કરીને તેમાં એક કાણું પાડવામાં આવે,તો તે કાણામાં વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
Medium
View Solution$6 \, m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $2 \, \mu C \, m^{-3}$ છે. ગોળાની સપાટીમાંથી બહાર આવતી એકમ પૃષ્ઠ દીઠ બળ રેખાઓની સંખ્યા $.... \times 10^{10} \, N C^{-1}$ છે. [આપેલ છે: શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \, C^{2} N^{-1} m^{-2}$]
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo