$y = \int_{0}^{x} (t - 1)(t - 2) dt$ का चरम मान (extremum value) ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = \int\limits_0^x \sqrt{1 - t^4} \, dt$ इस प्रकार है कि

स्तंभ $I$ में दिए गए समाकलों को स्तंभ $II$ में दिए गए मानों के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2}$	$(p) \frac{1}{2} \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$(q) 2 \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2}$	$(r) \frac{\pi}{3}$
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$	$(s) \frac{\pi}{2}$

यदि $A_n = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} e^{-x} \cos^n x \, dx$ है,तो $\frac{A_4 - A_6}{A_4} = $

$\int_1^2 \log _2(x^3+1) dx + \int_1^{\log_2 9} (2^x-1)^{1/3} dx$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक . . . . . है।

माना $f(x)=(1-x)^2 \sin ^2 x+x^2$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए और $g(x)=\int_1^x \left(\frac{2(t-1)}{t+1}-\ln t\right) f(t) dt$ सभी $x \in (1, \infty)$ के लिए।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $g$,$(1, \infty)$ पर वर्धमान है
$(B)$ $g$,$(1, \infty)$ पर ह्रासमान है
$(C)$ $g$,$(1,2)$ पर वर्धमान और $(2, \infty)$ पर ह्रासमान है
$(D)$ $g$,$(1,2)$ पर ह्रासमान और $(2, \infty)$ पर वर्धमान है
$2.$ कथनों पर विचार करें:
$P$ : ऐसा कोई $x \in \mathbb{R}$ विद्यमान है कि $f(x)+2x=2(1+x^2)$
$Q$ : ऐसा कोई $x \in \mathbb{R}$ विद्यमान है कि $2f(x)+1=2x(1+x)$
तब
$(A)$ $P$ और $Q$ दोनों सत्य हैं
$(B)$ $P$ सत्य है और $Q$ असत्य है
$(C)$ $P$ असत्य है और $Q$ सत्य है
$(D)$ $P$ और $Q$ दोनों असत्य हैं
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए उत्तर दें।