रेखा $r = (i + 2j - k) + \lambda (i - j + k)$ और समतल $r \cdot (2i - j + k) = 4$ के अभिलंब के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\lambda_1, \lambda_2$,$\lambda$ के वे मान हैं जिनके लिए बिंदु $\left(\frac{5}{2}, 1, \lambda\right)$ और $(-2, 0, 1)$ समतल $2x + 3y - 6z + 7 = 0$ से समान दूरी पर हैं। यदि $\lambda_1 > \lambda_2$ है,तो बिंदु $(\lambda_1 - \lambda_2, \lambda_2, \lambda_1)$ की रेखा $\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 7}{2}$ से दूरी क्या है?

मान लीजिए कि एक समतल $P$ बिंदु $(3, 7, -7)$ से होकर गुजरता है और रेखा $\frac{x-2}{-3} = \frac{y-3}{2} = \frac{z+2}{1}$ को समाहित करता है। यदि मूल बिंदु से समतल $P$ की दूरी $d$ है,तो $d^{2}$ का मान $.....$ है।

यदि रेखा $\frac{2x - 8}{\sin \beta} = \frac{y - \sin \alpha}{1} = \frac{z - 1}{\cos \alpha}$,जहाँ $\beta \in R$ और $\sin \beta \neq 1$,समतल $2x - (\sin \beta)y + (\cos \beta)z = k$ में सभी $\alpha \in R$ के लिए स्थित है,तो:

$R^3$ में,समतलों $P_1: y=0$ और $P_2: x+z=1$ पर विचार करें। मान लीजिए $P_3$ एक समतल है,जो $P_1$ और $P_2$ से भिन्न है,और उनके प्रतिच्छेदन से होकर गुजरता है। यदि बिंदु $(0,1,0)$ की $P_3$ से दूरी $1$ है और बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ की $P_3$ से दूरी $2$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सत्य है (हैं)?
$(A)$ $2\alpha+\beta+2\gamma+2=0$
$(B)$ $2\alpha-\beta+2\gamma+4=0$
$(C)$ $2\alpha+\beta-2\gamma-10=0$
$(D)$ $2\alpha-\beta+2\gamma-8=0$

समतल $8x+y+2z=0$ और बिंदुओं $A(-3,-6,1)$ तथा $B(2,4,-3)$ को जोड़ने वाली रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु $C$,रेखाखंड $AB$ को $k:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। यदि $a, b, c$ ($|a|, |b|, |c|$ सह-अभाज्य हैं) बिंदु $C$ से रेखा $\frac{1-x}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z+2}{3}$ पर डाले गए लंब के दिक अनुपात हैं,तो $|a+b+c|$ का मान $.............$ है।